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https://doi.org/10.11588/diglit.43681#0008
H. J. Fischer
0 <J t <^~ monoton zu- bzw. abnehmen, sich also durch ihre Werte
an den Stellen Z = Oundif = ^ abschätzen lassen, gilt:
■ r+\2E>~0,73' 10~7>
O^U ■ (4 + VC--f-D) > — 0,37 • 107,
0- t- RtR2 >— IO“14.
Damit kann man noch einfacher schreiben:
(5) # —z/* = P(O + /?4(O,
wobei
P (0 = 10~7 (235871 — 14629913 + 24192015 — 143497 V + 29125 f1)
und
+ 1,9 • 10“9 > R± (0 > — 2,73 • 10~7.
§ 4. Eine erste Abschätzung des Fehlermaximums.
Die Ableitung des soeben definierten Polynoms P (t) ist
ein Polynom vierten Grades in t2, dessen vier Wurzeln bei
t2 — 0,0646475 und in der Nähe von it2 = 0,5, von P=l,6 und
nochmals £2 = 1,6 liegen. P' (t) hat daher im Intervall 0<i£<^~
genau eine Nullstelle t0 = 0,2542587. Da nun P(^o) = 384O- 10 7
und ferner P(0) = 0 und pQj=2- 10“7 ist, so gilt für 0 t<^
die Abschätzung
3840 • 10-7^P(Z)^0.
Mit Hilfe von (5) kann man weiter schließen:
3840,1 • 10~7^^ —i/*^ —2,73 -10 7.
Es gilt sogar die folgende schärfere Ungleichung:
(6)
3840,1 • 10~7^y — z/*^0.
Man kann nämlich zunächst leicht zwei Zahlen tt und t2 derart
1
bestimmen, daß 0 < <f2<2 und daß im Intervall tt<R<R2
das Polynom P(t)> 2,73 • 10~7, also y—y* positiv bleibt. Für
die Intervalle 0 <i t<. tt und t., kann man sodann leicht
0 <J t <^~ monoton zu- bzw. abnehmen, sich also durch ihre Werte
an den Stellen Z = Oundif = ^ abschätzen lassen, gilt:
■ r+\2E>~0,73' 10~7>
O^U ■ (4 + VC--f-D) > — 0,37 • 107,
0- t- RtR2 >— IO“14.
Damit kann man noch einfacher schreiben:
(5) # —z/* = P(O + /?4(O,
wobei
P (0 = 10~7 (235871 — 14629913 + 24192015 — 143497 V + 29125 f1)
und
+ 1,9 • 10“9 > R± (0 > — 2,73 • 10~7.
§ 4. Eine erste Abschätzung des Fehlermaximums.
Die Ableitung des soeben definierten Polynoms P (t) ist
ein Polynom vierten Grades in t2, dessen vier Wurzeln bei
t2 — 0,0646475 und in der Nähe von it2 = 0,5, von P=l,6 und
nochmals £2 = 1,6 liegen. P' (t) hat daher im Intervall 0<i£<^~
genau eine Nullstelle t0 = 0,2542587. Da nun P(^o) = 384O- 10 7
und ferner P(0) = 0 und pQj=2- 10“7 ist, so gilt für 0 t<^
die Abschätzung
3840 • 10-7^P(Z)^0.
Mit Hilfe von (5) kann man weiter schließen:
3840,1 • 10~7^^ —i/*^ —2,73 -10 7.
Es gilt sogar die folgende schärfere Ungleichung:
(6)
3840,1 • 10~7^y — z/*^0.
Man kann nämlich zunächst leicht zwei Zahlen tt und t2 derart
1
bestimmen, daß 0 < <f2<2 und daß im Intervall tt<R<R2
das Polynom P(t)> 2,73 • 10~7, also y—y* positiv bleibt. Für
die Intervalle 0 <i t<. tt und t., kann man sodann leicht