Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Herleitung einiger grundlegenden Formeln der
Flächentheorie aus einer algebraischen Identität.
von
Helmut Joachim Fischer in Heidelberg.

1.
Die algebraische Identität.
Rechnungen der Differentialgeometrie lassen sich in vielen
Fällen durch Anwendung einer geeigneten algebraischen Um-
formung wesentlich abkürzen. Beispielsweise kann die Identität
von Lagrange
(«i h2 — a2 bj2 + (c/2 b3 — ci3 b2)2 + (a3 bx — cz1 ö3)2
— (ai24~ °b2 H- a32) (^i2 H- b22 + ö32) — (ci3 br -\-a2 b2 a& b3)2
immer wieder mit Erfolg verwertet werden.
Im Folgenden sei auf eine andere, weniger einfache Identität
hingewiesen, die sich zur Umformung differentialgeometrischer
Ausdrücke ebenfalls als brauchbar erweist:

Sind «j, c/2, a3, b{, b2,b3, cx, c2, c3, dv d2, d3 beliebige Zahlen,
so gilt


[«! (c2 d3 — c3 d2) -j- «2 (c3 dt — c1 d3) a3 (cx d2 — c2 dj]
• [bY (c2 d3 — c3 d2) + b2 (c3 dr — ct d3) + b3 (cx d2 — c2 dj]
= 4, b, + a2 b2 + «3 b3)
’ l(ci2 “F c22 c32) (f4 4~ 42 + 42) — (cx di 4~ c2 d2 4- c3 d3)-']
— (Ci2 + c22 4- c32) (a1 dx + «2 d2 4- a3 d3) (öx dx + b2 d2 + b3 d3)
+ (Cj dt 4- c2 4j H- c3 44 («i dy + a2 d2 4- ct-3 d3) (4 ci 4~ b2 c2 4~ 4 c3)
+ (Ci 4. + c2 d2 4-c3 d3) («i Ci 4-a2 c2 4- a3 c3) (4 dr + b2 d2 + b3 d3)
- (dr2 4- d22 4- d32) («i Ci 4- a2 c2 + a3 c3) (b1 + b2 c2 + b3 c3).

Unter Verwendung von Summenzeichen kann man diese Iden-
tität kürzer schreiben: