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https://doi.org/10.11588/diglit.43715#0003
Der Kegelschnitt als Elementverein.
Von
E. A. Weiss in Bonn.
In der projektiven Geometrie der Ebene wird die Bezeichnung
„Kegelschnitt“ für drei verschiedene Begriffe verwandt: Kurve
2. Ordnung (Ort von Punkten), Kurve 2. Klasse (Ort von Geraden)
und Elementvereinkegelschnitt (Ort von Linienelementen). Im
regulären Falle bestimmt jede Figur der einen Art eindeutig
umkehrbar eine Figur der anderen Art. Der Unterschied der drei
Begriffe wird erst sinnfällig, wenn man die Ausartungen der
drei Figuren betrachtet: Eine in ein Paar verschiedener Geraden
zerfallene Kurve 2. Ordnung kann nicht als Kurve 2. Klasse,
eine in ein Paar verschiedener Punkte zerfallene Kurve 2. Klasse
kann nicht als Kurve 2. Ordnung, beide Figuren können aber
als Elementvereinkegelschnitte angesehen werden. Eine Doppel-
gerade kann nur als Kurve 2. Ordnung, ein Doppelpunkt nur als
Kurve 2. Klasse und ein Linienelementkegelschnitt nur als Ele-
mentvereinkegelschnitt angesehen werden.
Als Orte von Linienelementen sind Kurven überhaupt, ins-
besondere also Kegelschnitte, zuerst von A. Clebsch x) und S. Lie
betrachtet worden. Der Linienelementkegelschnitt erscheint in einer
Klassifikation von A. Clebsch-F. Lindemann * 2) gleichzeitig als be-
sondere Ausartung einer Kurve 2. Ordnung und einer Kurve
2. Klasse, aber nicht als Ort von Linienelementen. Der Name
„Linienelementkegelschnitt“ wird von E. Study 3) geprägt. E. Study
führt für den Elementvereinkegelschnitt (übrigens auch ohne diese
Figur explizite als Ort von Elementen anzusehen) Koordinaten ein
und untersucht die Abbildung, die sich bei der Deutung dieser
Koordinaten als homogener Punktkoordinaten in einem höheren
b A. Clebsch, Über ein neues Grundgebilde der analytischen Geo-
metrie der Ebene. Math. Ann. 6, 1873, S. 203—215.
2) A. Clebsch-F. Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I, Leipzig
1876, S. 119.
3) E. Study, Abbildung der Mannigfaltigkeit aller Kegelschnitte einer
Ebene auf einen Punktraum, Math. Ann. 40, 1892, S. 552. Vgl. auch S. 560.
Von
E. A. Weiss in Bonn.
In der projektiven Geometrie der Ebene wird die Bezeichnung
„Kegelschnitt“ für drei verschiedene Begriffe verwandt: Kurve
2. Ordnung (Ort von Punkten), Kurve 2. Klasse (Ort von Geraden)
und Elementvereinkegelschnitt (Ort von Linienelementen). Im
regulären Falle bestimmt jede Figur der einen Art eindeutig
umkehrbar eine Figur der anderen Art. Der Unterschied der drei
Begriffe wird erst sinnfällig, wenn man die Ausartungen der
drei Figuren betrachtet: Eine in ein Paar verschiedener Geraden
zerfallene Kurve 2. Ordnung kann nicht als Kurve 2. Klasse,
eine in ein Paar verschiedener Punkte zerfallene Kurve 2. Klasse
kann nicht als Kurve 2. Ordnung, beide Figuren können aber
als Elementvereinkegelschnitte angesehen werden. Eine Doppel-
gerade kann nur als Kurve 2. Ordnung, ein Doppelpunkt nur als
Kurve 2. Klasse und ein Linienelementkegelschnitt nur als Ele-
mentvereinkegelschnitt angesehen werden.
Als Orte von Linienelementen sind Kurven überhaupt, ins-
besondere also Kegelschnitte, zuerst von A. Clebsch x) und S. Lie
betrachtet worden. Der Linienelementkegelschnitt erscheint in einer
Klassifikation von A. Clebsch-F. Lindemann * 2) gleichzeitig als be-
sondere Ausartung einer Kurve 2. Ordnung und einer Kurve
2. Klasse, aber nicht als Ort von Linienelementen. Der Name
„Linienelementkegelschnitt“ wird von E. Study 3) geprägt. E. Study
führt für den Elementvereinkegelschnitt (übrigens auch ohne diese
Figur explizite als Ort von Elementen anzusehen) Koordinaten ein
und untersucht die Abbildung, die sich bei der Deutung dieser
Koordinaten als homogener Punktkoordinaten in einem höheren
b A. Clebsch, Über ein neues Grundgebilde der analytischen Geo-
metrie der Ebene. Math. Ann. 6, 1873, S. 203—215.
2) A. Clebsch-F. Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I, Leipzig
1876, S. 119.
3) E. Study, Abbildung der Mannigfaltigkeit aller Kegelschnitte einer
Ebene auf einen Punktraum, Math. Ann. 40, 1892, S. 552. Vgl. auch S. 560.