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https://doi.org/10.11588/diglit.43715#0004
4
E. A. Weiss
Raume ergibt. Durch Gleichungen zwischen Elementkoordinaten
wird der Elementvereinkegelschnitt zum ersten Male von F. Engel4)
dargestellt.
Die vorliegende Arbeit ist durch die Abhandlung von F. Engel
angeregt worden. Sie beschäftigt sich zunächst mit einer geo-
metrischen Deutung der drei ENGELschen Gleichungen. Die Kegel-
schnitte erscheinen dabei als Orte singulärer symmetrischer Kolli-
neationen. Es zeigt sich dann, daß die ENGELschen Gleichungen
für den Linienelementkegelschnitt durch ein in allen Fällen
brauchbares System von 6 Gleichungen vom Range 3 ersetzt
werden müssen. Diese können als Gleichungen eines in einem
verlaufenden 7?ö aufgefaßt werden. Die GRASSMANNschen Koor-
dinaten dieses /?5 werden mit den STUDYschen Koordinaten des
Elementvereinkegelschnittes identisch.
1. Symmetrische Kollineationen. Eine Kollineation
(1) (czx) (up) = 0
heiße symmetrisch, wenn ihre Invariante (ap) verschwindet.
Eine geometrische Deutung dieser Beziehung haben A. Clebsch5)
und M. Pasch 6) für den Fall regulärer Kollineationen angegeben.
Wir beschäftigen uns im Folgenden ausschließlich mit singulären
Kollineationen.
Eine singuläre Kollineation vom Range 2 wird durch eine
Projektivität zwischen einem Geradenbüschel und einer Punktreihe
bestimmt. Der Scheitel des Geradenbüschels ist der singuläre
Punkt der Kollineation. Einem beliebigen anderen Punkte — und
zugleich allen Punkten seiner Verbindungslinie mit dem singulären
Punkt — entspricht der dieser Verbindungslinie durch die Projek-
tivität zugeordnete Punkt der Punktreihe. Je nachdem der Scheitel
des Geradenbüschels der Trägergeraden g der Punktreihe ange-
hört oder nicht, unterscheiden wir spezielle und allgemeine
Kollineationen vom Range 2.
Bei einer Kollineation vom Range 2 entsteht auf der Träger-
geraden g der Punktreihe eine projektive Verwandtschaft: Einem
Punkte von g wird durch die Kollineation ein anderer Punkt zu-
4) F. Engel, Die Kegelschnitte als Elementvereine. Sitzungsber. d.
Heidelberger Ak. d. Wiss., math.-nat. Kl., 1934, 8. Abhdl.
5) A. Clebsch-F. Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I (2. Teil),
Leipzig, 1876, S. 994.
°) M. Pasch, Zur Theorie der Kollineation und Reziprozität. Math.
Ann. 23, 1884, S. 419.
E. A. Weiss
Raume ergibt. Durch Gleichungen zwischen Elementkoordinaten
wird der Elementvereinkegelschnitt zum ersten Male von F. Engel4)
dargestellt.
Die vorliegende Arbeit ist durch die Abhandlung von F. Engel
angeregt worden. Sie beschäftigt sich zunächst mit einer geo-
metrischen Deutung der drei ENGELschen Gleichungen. Die Kegel-
schnitte erscheinen dabei als Orte singulärer symmetrischer Kolli-
neationen. Es zeigt sich dann, daß die ENGELschen Gleichungen
für den Linienelementkegelschnitt durch ein in allen Fällen
brauchbares System von 6 Gleichungen vom Range 3 ersetzt
werden müssen. Diese können als Gleichungen eines in einem
verlaufenden 7?ö aufgefaßt werden. Die GRASSMANNschen Koor-
dinaten dieses /?5 werden mit den STUDYschen Koordinaten des
Elementvereinkegelschnittes identisch.
1. Symmetrische Kollineationen. Eine Kollineation
(1) (czx) (up) = 0
heiße symmetrisch, wenn ihre Invariante (ap) verschwindet.
Eine geometrische Deutung dieser Beziehung haben A. Clebsch5)
und M. Pasch 6) für den Fall regulärer Kollineationen angegeben.
Wir beschäftigen uns im Folgenden ausschließlich mit singulären
Kollineationen.
Eine singuläre Kollineation vom Range 2 wird durch eine
Projektivität zwischen einem Geradenbüschel und einer Punktreihe
bestimmt. Der Scheitel des Geradenbüschels ist der singuläre
Punkt der Kollineation. Einem beliebigen anderen Punkte — und
zugleich allen Punkten seiner Verbindungslinie mit dem singulären
Punkt — entspricht der dieser Verbindungslinie durch die Projek-
tivität zugeordnete Punkt der Punktreihe. Je nachdem der Scheitel
des Geradenbüschels der Trägergeraden g der Punktreihe ange-
hört oder nicht, unterscheiden wir spezielle und allgemeine
Kollineationen vom Range 2.
Bei einer Kollineation vom Range 2 entsteht auf der Träger-
geraden g der Punktreihe eine projektive Verwandtschaft: Einem
Punkte von g wird durch die Kollineation ein anderer Punkt zu-
4) F. Engel, Die Kegelschnitte als Elementvereine. Sitzungsber. d.
Heidelberger Ak. d. Wiss., math.-nat. Kl., 1934, 8. Abhdl.
5) A. Clebsch-F. Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I (2. Teil),
Leipzig, 1876, S. 994.
°) M. Pasch, Zur Theorie der Kollineation und Reziprozität. Math.
Ann. 23, 1884, S. 419.