Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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E. A. Weiss

(5)

(Gl X’j | C|g Xg j~ C|g Xg) ^2 (^21 'M —F” G'2 *M —F” ^23 Ml) M

nur zwei wesentlich. Wir werden aber alle drei Gleichungen bei-
behalten, weil diese Gleichungen, wenigstens im Allgemeinen
(vgl. Satz 4), von einander linear unabhängig sind.
Im allgemeinen bestimmen also die Gleichungen (5) drei von
einander linear-unabhängige Kollineationen. Ordnet eine solche
Kollineation einem Punkte x einen Punkt x' zu, so gibt x, zu-
sammen mit einer beliebigen Geraden u durch x' eines der oo3
durch die Kollineation bestimmten Paare. Die den drei Kollinea-
tionen entsprechenden Mannigfaltigkeiten von je oo3 Paaren durch-
dringen sich in der Mannigfaltigkeit der oo2 durch den Kegel-
schnitt bestimmten Paare. Unter ihnen befinden sich speziell —
für (üx) = 0 — die oo1 Linienelemente des Kegelschnitts: Der
Kegelschnitt erscheint als Schnitt der drei Konnexe (5) mit dem
identischen Konnex.
Nun stellt jede der Kollineationen (5) eine symmetrische Kolli-
neation vom Range 2 dar. Da die Bedingung (cip) = 0 in den
Koeffizienten der Bilinearform (c/x) (up) linear ist, spannen die
Kollineationen ein Bündel symmetrischer Kollineationen auf:
Satz 1: Mit jeder regulären Kurve 2. Ordnung ist ein Bündel
symmetrischer Kollineationen vom Range 2 verbunden, das durch
die Kollineationen (5) aufgespannt wird.

Zu beweisen bleibt noch, daß sämtliche Kollineationen des
Bündels den Rang 2 besitzen. Dies ergibt sich sofort aus der
geometrischen Bedeutung dieser Kollineationen.
Die erste der Kollineationen (5), ausgeschrieben:

(6)

x/ = 0,


ordnet jedem Punkte x den Schnittpunkt x seiner Polaren mit
der Geraden 1:0:0 zu. Entsprechendes gilt für die beiden übri-
gen Gleichungen.
Ist nun b eine beliebige Gerade, so gibt
(7) (cx) (cbu) — 0
die allgemeinste Kollineation der so beschriebenen Art, nämlich
die Kollineation, die jedem Punkte x den Schnittpunkt seiner