DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43715#0008
8
E. A. Weiss
vom Rctnge 2 als R:> eines R8, so werden die von Null ver-
schiedenen Koordinaten dieses R- den aus den Koeffizienten dk
der Kurve 2. Ordnung und den Koeffizienten Cik der entsprechen-
den Kurve 2. Klasse gebildeten Produkten Ctk Cim gleich.
Also:
Satz 3: Eine reguläre Kurve 2. Ordnung und die zu ihr
gehörige Kurve 2. Klasse werden als Orte singulärer symmetrischer
Kollineationen auf ein- und denselben R-o des R8 abgebildet.
Satz 4: Die Gleichungssysteme (5) und (8) haben für Kurven
vom Range r^>2 den Rang 3, für Kurven vom Range r=l
den Rang 2.
4. Kegelschnitte vom Range 2 als Orte singulärer sym-
metrischer Kollineationen. Symmetrische Kollineationen vom
Range 2 gibt es k>6. Zu jedem der co5 Kegelschnitte gibt es <»2.
Also gehören zu jeder symmetrischen Kollineation vom Range 2
co1 Kegelschnitte. Diese Kegelschnitte bilden ein Büschel, das im
Falle einer allgemeinen Kollineation von der doppeltgezählten
Geraden g der Kollineation und dem Geradenpaar aufgespannt
wird, das vom singulären Punkte aus die Ruhepunkte der Invo-
lution projiziert. Im Falle einer speziellen Kollineation handelt es
sich um ein (bestimmtes) Büschel, das von der doppeltgezählten
Geraden g und einem regulären, sie im singulären Punkte s der
Kollineation berührenden Kegelschnitt aufgespannt wird. Die
Linienelemente (w, x) dieses Kegelschnittes und dann aller Kegel-
schnitte des Büschels vermitteln die Projektivität zwischen der
Punktreihe g und dem Geradenbiischel s in der Weise, daß dem
Punkte ug die Gerade xs zugeordnet wird.
Die betrachteten Kegelschnittbüschel enthalten auch singuläre
Kegelschnitte. Wir fragen daher jetzt nach den singulären sym-
metrischen Kollineationen singulärer Kegelschnitte.
Es ist klar, daß das zu einem Paare verschiedener Geraden
gehörige Bündel singulärer symmetrischer Kollineationen, den Ge-
raden b von allgemeiner Lage entsprechend, oo'2 allgemeine symme-
trische Kollineationen vom Range 2 enthält. Eine besondere Be-
handlung verlangen nur die Geraden durch den Scheitel des
Geradenpaares. Für diese folgt:
Satz 5: Zu einer Kurve 2. Ordnung vom Range 2 gehört
ein Bündel singulärer symmetrischer Kollineationen. Unter diesen
befindet sich ein Büschel symmetrischer Kollineationen vom Range
E. A. Weiss
vom Rctnge 2 als R:> eines R8, so werden die von Null ver-
schiedenen Koordinaten dieses R- den aus den Koeffizienten dk
der Kurve 2. Ordnung und den Koeffizienten Cik der entsprechen-
den Kurve 2. Klasse gebildeten Produkten Ctk Cim gleich.
Also:
Satz 3: Eine reguläre Kurve 2. Ordnung und die zu ihr
gehörige Kurve 2. Klasse werden als Orte singulärer symmetrischer
Kollineationen auf ein- und denselben R-o des R8 abgebildet.
Satz 4: Die Gleichungssysteme (5) und (8) haben für Kurven
vom Range r^>2 den Rang 3, für Kurven vom Range r=l
den Rang 2.
4. Kegelschnitte vom Range 2 als Orte singulärer sym-
metrischer Kollineationen. Symmetrische Kollineationen vom
Range 2 gibt es k>6. Zu jedem der co5 Kegelschnitte gibt es <»2.
Also gehören zu jeder symmetrischen Kollineation vom Range 2
co1 Kegelschnitte. Diese Kegelschnitte bilden ein Büschel, das im
Falle einer allgemeinen Kollineation von der doppeltgezählten
Geraden g der Kollineation und dem Geradenpaar aufgespannt
wird, das vom singulären Punkte aus die Ruhepunkte der Invo-
lution projiziert. Im Falle einer speziellen Kollineation handelt es
sich um ein (bestimmtes) Büschel, das von der doppeltgezählten
Geraden g und einem regulären, sie im singulären Punkte s der
Kollineation berührenden Kegelschnitt aufgespannt wird. Die
Linienelemente (w, x) dieses Kegelschnittes und dann aller Kegel-
schnitte des Büschels vermitteln die Projektivität zwischen der
Punktreihe g und dem Geradenbiischel s in der Weise, daß dem
Punkte ug die Gerade xs zugeordnet wird.
Die betrachteten Kegelschnittbüschel enthalten auch singuläre
Kegelschnitte. Wir fragen daher jetzt nach den singulären sym-
metrischen Kollineationen singulärer Kegelschnitte.
Es ist klar, daß das zu einem Paare verschiedener Geraden
gehörige Bündel singulärer symmetrischer Kollineationen, den Ge-
raden b von allgemeiner Lage entsprechend, oo'2 allgemeine symme-
trische Kollineationen vom Range 2 enthält. Eine besondere Be-
handlung verlangen nur die Geraden durch den Scheitel des
Geradenpaares. Für diese folgt:
Satz 5: Zu einer Kurve 2. Ordnung vom Range 2 gehört
ein Bündel singulärer symmetrischer Kollineationen. Unter diesen
befindet sich ein Büschel symmetrischer Kollineationen vom Range