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https://doi.org/10.11588/diglit.43716#0003
Uber Krümmungseigenschaften im Großen
von Eitinien und Eiflächen.
Von
Wilhelm Süss in Freiburg i. Br.
1. Zu den am häufigsten genannten Ergebnissen der Differen-
tialgeometrie im Großen gehört der Vierscheitelsatz für Ei-
linien, der aussagt, daß es auf jeder geschlossenen konvexen
Kurve mit stetiger Krümmung mindestens vier Punkte gibt, in
denen die Krümmung stationäre Werte annimmtx). An Einfach-
heit ihm gleich ist der folgende „Satz von den Gegen-
punkten“ von W. Blaschke ') : Auf jeder Eilinie gibt es min-
destens drei Paare von Punkten mit parallelen Tangenten und
jeweils gleicher Krümmung. Auf den Zusammenhang der beiden
Sätze miteinander und mit einer großen Zahl ähnlich einfacher
Aussagen, die der Geometrie im Großen der Eilinien angehören,
habe ich mehrfach hingewiesen * 2). B. Segre hat für manche die-
ser Sätze vor kurzem neue Beweise veröffentlicht und mehrere
verwandte Ergebnisse hinzugefügt3). Im Folgenden will ich zu-
nächst (§ 1) einen neuen Beweis für den Satz von den Gegen-
punkten geben und dabei einige derjenigen Tatsachen beifügen,
die sich auf demselben Wege ergeben, der mir an Einfachheit
keinem der bekannten nachzustehen scheint. Der Vierscheitelsatz
ist dabei eine unmittelbare Folge. Die Relativierung des Krüm-
mungsbegriffs im Sinne der Minkowskischen Geometrie führt zu
einem entsprechenden Vierscheitelsatz, für den ich (§ 2) einen
neuen Beweis bringe. Er hat seinerseits wieder den Satz von
den Gegenpunkten zur Folge.
J) Wegen der Literatur vergl. T. Bonnesen u. W. Fenchel, Theorie
der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer’Grenzgebiete
Bd. 3, Heft 1. Berlin 1934, S. 145.
2) Töhoku Math. Journ. Bd. 28, 1927, S. 216—220 und Vortrag vor der
Freiburger Mathemat. Ges. am 4. 12. 1934. Die §§ 1 u. 2 gehen auf diesen
Vortrag zurück.
3) a) Bollettino d. Unione Mat. Ital., Bd. 13, 1934, S. 2—7. b) Atti d.
R. Accad. d. Sc. di Torino, Bd. 70, 1934/35, S. 116-122. c) Rendic. d. R.
Accad. Naz. dei Lincei, Ser. 6, Bd. 20, 1934, S. 407—410, 455—458 und Bd.
21, 1935, S. 11 14.
von Eitinien und Eiflächen.
Von
Wilhelm Süss in Freiburg i. Br.
1. Zu den am häufigsten genannten Ergebnissen der Differen-
tialgeometrie im Großen gehört der Vierscheitelsatz für Ei-
linien, der aussagt, daß es auf jeder geschlossenen konvexen
Kurve mit stetiger Krümmung mindestens vier Punkte gibt, in
denen die Krümmung stationäre Werte annimmtx). An Einfach-
heit ihm gleich ist der folgende „Satz von den Gegen-
punkten“ von W. Blaschke ') : Auf jeder Eilinie gibt es min-
destens drei Paare von Punkten mit parallelen Tangenten und
jeweils gleicher Krümmung. Auf den Zusammenhang der beiden
Sätze miteinander und mit einer großen Zahl ähnlich einfacher
Aussagen, die der Geometrie im Großen der Eilinien angehören,
habe ich mehrfach hingewiesen * 2). B. Segre hat für manche die-
ser Sätze vor kurzem neue Beweise veröffentlicht und mehrere
verwandte Ergebnisse hinzugefügt3). Im Folgenden will ich zu-
nächst (§ 1) einen neuen Beweis für den Satz von den Gegen-
punkten geben und dabei einige derjenigen Tatsachen beifügen,
die sich auf demselben Wege ergeben, der mir an Einfachheit
keinem der bekannten nachzustehen scheint. Der Vierscheitelsatz
ist dabei eine unmittelbare Folge. Die Relativierung des Krüm-
mungsbegriffs im Sinne der Minkowskischen Geometrie führt zu
einem entsprechenden Vierscheitelsatz, für den ich (§ 2) einen
neuen Beweis bringe. Er hat seinerseits wieder den Satz von
den Gegenpunkten zur Folge.
J) Wegen der Literatur vergl. T. Bonnesen u. W. Fenchel, Theorie
der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer’Grenzgebiete
Bd. 3, Heft 1. Berlin 1934, S. 145.
2) Töhoku Math. Journ. Bd. 28, 1927, S. 216—220 und Vortrag vor der
Freiburger Mathemat. Ges. am 4. 12. 1934. Die §§ 1 u. 2 gehen auf diesen
Vortrag zurück.
3) a) Bollettino d. Unione Mat. Ital., Bd. 13, 1934, S. 2—7. b) Atti d.
R. Accad. d. Sc. di Torino, Bd. 70, 1934/35, S. 116-122. c) Rendic. d. R.
Accad. Naz. dei Lincei, Ser. 6, Bd. 20, 1934, S. 407—410, 455—458 und Bd.
21, 1935, S. 11 14.