Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

im Großen von'iEilinien und Eiflächen

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von negativen zu positiven Werten übergeht, so muß es wegen
(3) bei t = n von positiven zu negativen Werten weitergehen.
Wegen (4) muß also zwischen 0 und ti ein ^-Intervall existieren,
in dem d negative Werte annimmt, d. h. es muß d im Innern
des Intervalls (0, n) mindestens noch zweimal verschwinden. Da
jeder Nullstelle von d ein Paar von Gegenpunkten mit gleichem
r-Wert entpricht, ist der Satz von den Gegenpunkten be-
wiesen. — Wegen späterer Verwendung heben wir hervor: Die
ungerade Funktion d (f) hat im Intervall 0 <i t < 2 n mindestens
drei positive Maxima und drei negative Minima.
3. Vierscheitelsatz. Besäße der Krümmungsradius r(Y) als
Funktion auf dem Gesamtkreis nur ein Maximum und nur ein
Minimum, so müßte das Maximum nach Nr. 2 im Intervall (0, n)
und das Minimum im Intervall (tt, 2 tt) liegen. Da das Maximum
größer und das Minimum kleiner als r (0) sein müßte, wäre im
Intervall (0, n) im Widerspruch zu (4) stets c/ > 0. Die Eilinie
hat also mindestens vier Scheitel, da diese als Maxima
und Minima von r abwechselnd und also stets in gerader Anzahl
auftreten. Beim Beweis wurde nur die Existenz eines Paares von
Gegenpunkten mit gleichem r benutzt.
Wir können sogleich noch eine Aussage über die Größe der
Extremwerte machen. Da wir von der Bedeutung von r und von
(2) keinen Gebrauch gemacht haben, ist bewiesen, daß jede
stetige und (1) genügende Funktion r (t) auf dem Kreis mindestens
vier Extremwerte besitzt. Dies werden wir jetzt verwenden. Für
die Funktion
2 jT.
(5) f (0 = r (0 — y- I r (t) dt = r—
z n J z n
0
gilt außer den Gleichungen (1), in denen r durch f zu ersetzen ist,
j f (t) dt = 0.
o
Es ist also die Funktion
z
(6) A(0 = I /(0 dt
o
mit 2 Ti periodisch, d. h. auf dem Vollkreis stetig. Sie genügt
ferner, wie man durch partielle Integration feststellt, gleichfalls
den Bedingungen (1), sie hat somit nach dem Obigen mindestens