Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

im Großen von Eilinien und Eiflächen

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§ 2. Verallgemeinerter Vierscheitelsatz.
5. Das allgemeine Ergebnis von Nr. 4 läßt noch eine andere
Ausdeutung zu. Betrachtet man bei der dortigen Bezeichnung C
als Eichkurve (im Sinne von H. Minkowski) einer relativen Diffe-
rentialgeometrie, so heißt der Quotient - die relative Krümmung
der Kurve c bezüglich C. Auch für diesen Krümmungsbegriff ist
ein Vierscheitelsatz der Relativgeometrie mehrfach be-
wiesen worden 9- Eine etwas inhaltsreichere Aussage gewinnt
man unmittelbar aus Nr. 4. Berücksichtigt man, daß konstante
Relativkrümmung zueinander homothetische Kurven kennzeichnet,
so liefert der Fall u = — ^ das Ergebnis, daß die Differenz
r— -^R mindestens vier Vorzeichenwechsel besitzt. Es gilt also
der Satz: Die Relativkrümmung einer Eilinie c bezüglich einer
zweiten C, die nicht zu ihr homothetisch ist, besitzt mindestens
zwei Mcixima und zwei Minima, die größer bezw. kleiner cds das
Verhältnis sind. U und u sind dabei wieder die Umfänge von
u
C bzw. c.
Aus dem Vierscheitelsatz der Relativgeometrie folgt wieder
der Satz von den Gegenpunkten von Nr. 4, wenn man unter C
die Kurve der Gegenpunkte von c versteht, C (f) = c (f n). Dann
ist C die durch Spiegelung an einem Punkt aus c hervorgehende
Kuve bis auf eine Translation, auf die es hier nicht ankommt.
Für unseren Fall hat dann nämlich die Diffenzenz
r (f i
r(0
mindestens vier Zeichenwechsel. Da sie aber in Gegenpunkten
verschiedenen Vorzeichens ist, muß die Zahl der Zeichenwechsel
das Doppelte einer ungeraden Zahl sein, also mindestens sechs.
Der Satz von den Gegenpunkten kann in der Sprache der
Relativgeometrie auch als Scheitelsatz ausgesprochen werden:
Jede Eilinie hat bezüglich der Kurve ihrer Gegenpunkte minde-
stens sechs Relativ scheitel.
6. Zu einem von den Überlegungen des§l unab-
hängigen Beweis des Vierscheitelsatzes der Relativ-