Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 W. Süss: Über Krümmungseigenschaften
geometrie führt auch das folgende Verfahren, das zugleich einen
einfachen Zugang zu mehreren Sätzen von B. Segre bietet.
Hilfssatz: Zwei konvexe Kurvenbögen c' und C' mögen
sich in ihren den Tangentenwinkeln / = 0 und t = w^n ent-
sprechenden Endpunkten berühren. Für ihre Krümmungsradien
gelte r (0) ^> /? (0), r (m) j> R (w). Dann kann nicht im ganzen
Intervall 0<R<.w auch r (?) R (?) sein, wenn c' und C' nicht
zusammenfallen.
Zum Beweis gehen wir von der bekannten Beziehung
zwischen Krümmungsradius und Abstand eines willkürlichen festen
Punktes von der Tangente aus, der für c' und C' mit p bzw.
P bezeichnet sei. Aus dieser Gleichung folgt
t
(8) p(t) — a cos t -j- b sin t-\- j r (z) sin (t— z) dz
ö
und analog für P(?) eine Gleichung mit großen Buchstaben.
Wählen wir den Ursprung auf der gemeinsamen Normalen im
Punkt t = 0, so ist
p'(0) = jp'(0) = ö = B = 0.
Ferner ist nach Voraussetzung
p(Ö) = P(0) und p(ii)) = P(iv),
also
u
ci = A und |r (z) — R (z)j sin (u— z)dz — 0.
o
Wegen iv<^n kann also nur dann r(?) ^/?(?) sein, wenn r = R
ist, d. h. wenn c' und C' zusammenfallen, w. z. B. w. Auf diese
Weise findet man genauer, daß die Differenz r — R im Intervall
(0, m) mindestens zwei Nullstellen hat, wenn sie irgendwo
positiv ist.
Sind nun zwei nicht zueinander homothetische Eilinien c, C
gegeben, so sei Ca eine der kleinsten und Ci eine der größten
zu C homothetischen Eilinien, die c um- bezw. einbeschrieben
werden können. Man erkennt sofort, daß die /-Differenz für benach-
barte Berührungspunkte von c und Ca sowie von c und Ci stets
höchstens n ist. Sind die Krümmungsradien von Ca und Ci
gleich«/? bzw. iR, so ist nach dem Hilfssatz zwischen je zwei