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https://doi.org/10.11588/diglit.43716#0009
im Großen von Eilinien und Eiflächen
9
Berührungspunkten von Ca mit c mindestens einmal ctR<jr,
während in den Berührungspunkten selbst a Rj>r ist, und es ist
gleicherweise zwischen je zwei Berührungspunkten von Ci mit c
einmal iRj>r, während in diesen Berührungspunkten iR<±r ist.
Da a > i ist, so ist damit der Vierscheitelsatz von Nr. 5 bewiesen.
Der Hilfssatz gestattet auch, eine hübsche Behauptung von
Segre zu beweisen. Wir betrachten alle stetig gekrümmten kon-
vexen Bögen zwischen denselben Punkten G und H, die dort
dieselben Tangenten g bzw. h besitzen. Es sei m die obere
Grenze der Minima und M die untere Grenze der Maxima der
Krümmungen aller Bögen GH der genannten Art. Dann ist nach
dem Hilfssatz m < M und die Krümmungen jedes Bogens GH
überdecken das Intervall (m, M) nach seiner Definition.
§ 3. Ein Satz von den Krümmungen in Gegenpunkten
bei Eiflächen.
7. Ein Vergleich der Krümmungsgrößen von Ei-
flächen in Gegenpunkten scheint in der Literatur bisher nicht
behandelt worden zu sein. Zu einem ersten Ergebnis dieser Art
führt der folgende
Hilfssatz: Zwei auf der Kugelfläche stetige und ungerade
Funktionen f, g besitzen mindestens eine gemeinsame Nullstelle.
Den Beweis führen wir nach einem Gedanken, den ich Herrn
H. Kneser verdanke, folgendermaßen indirekt7). Wenn überall
auf der Kugel die Funktion h2 = f2g2 0 wäre, so würde durch
cos t= , ' sm = rf-r
h h
eine eindeutige und stetige Abbildung der Kugel auf den Ein-
heitskreis definiert, die Gegenpunkte der Kugel in Gegenpunkte
des Kreises überführt. Jeder einzelne Großkreis der Kugel wird
auf den Vollkreis abgebildet. Dabei entspricht einer Durchlau-
fungsrichtung des Großkreises ein bestimmter Richtungssinn des
Bildkreises. Lassen wir nun einen Großkreis stetig das Büschel
der Großkreise durch zwei seiner Punkte durchlaufen, bis er in
seine Ausgangslage zurückkommt, aber entgegengesetzten Um-
7) Mein ursprünglicher Beweis benutzte den Satz, daß die Nullstellen-
menge einer auf der Kugelfläche stetigen ungeraden Funktion ein zwei
Gegenpunkte verbindendes Kontinuum enthält. Der Beweis dieses Satzes
ist langwieriger als der des Textes.
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Berührungspunkten von Ca mit c mindestens einmal ctR<jr,
während in den Berührungspunkten selbst a Rj>r ist, und es ist
gleicherweise zwischen je zwei Berührungspunkten von Ci mit c
einmal iRj>r, während in diesen Berührungspunkten iR<±r ist.
Da a > i ist, so ist damit der Vierscheitelsatz von Nr. 5 bewiesen.
Der Hilfssatz gestattet auch, eine hübsche Behauptung von
Segre zu beweisen. Wir betrachten alle stetig gekrümmten kon-
vexen Bögen zwischen denselben Punkten G und H, die dort
dieselben Tangenten g bzw. h besitzen. Es sei m die obere
Grenze der Minima und M die untere Grenze der Maxima der
Krümmungen aller Bögen GH der genannten Art. Dann ist nach
dem Hilfssatz m < M und die Krümmungen jedes Bogens GH
überdecken das Intervall (m, M) nach seiner Definition.
§ 3. Ein Satz von den Krümmungen in Gegenpunkten
bei Eiflächen.
7. Ein Vergleich der Krümmungsgrößen von Ei-
flächen in Gegenpunkten scheint in der Literatur bisher nicht
behandelt worden zu sein. Zu einem ersten Ergebnis dieser Art
führt der folgende
Hilfssatz: Zwei auf der Kugelfläche stetige und ungerade
Funktionen f, g besitzen mindestens eine gemeinsame Nullstelle.
Den Beweis führen wir nach einem Gedanken, den ich Herrn
H. Kneser verdanke, folgendermaßen indirekt7). Wenn überall
auf der Kugel die Funktion h2 = f2g2 0 wäre, so würde durch
cos t= , ' sm = rf-r
h h
eine eindeutige und stetige Abbildung der Kugel auf den Ein-
heitskreis definiert, die Gegenpunkte der Kugel in Gegenpunkte
des Kreises überführt. Jeder einzelne Großkreis der Kugel wird
auf den Vollkreis abgebildet. Dabei entspricht einer Durchlau-
fungsrichtung des Großkreises ein bestimmter Richtungssinn des
Bildkreises. Lassen wir nun einen Großkreis stetig das Büschel
der Großkreise durch zwei seiner Punkte durchlaufen, bis er in
seine Ausgangslage zurückkommt, aber entgegengesetzten Um-
7) Mein ursprünglicher Beweis benutzte den Satz, daß die Nullstellen-
menge einer auf der Kugelfläche stetigen ungeraden Funktion ein zwei
Gegenpunkte verbindendes Kontinuum enthält. Der Beweis dieses Satzes
ist langwieriger als der des Textes.