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https://doi.org/10.11588/diglit.43716#0010
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W. Süss: Über Krümmungseigenschaften
laufssinn hat, so müßten die Bilder der Ausgangs- und Endlage
auch entgegengesetzt gerichtet sein, während die Abbildung sich
nur stetig ändern kann. Das widerspricht aber dem Brouwer-
schen Satz vom Abbildungsgrad bzw. seinem lange bekannten
eindimensionalen Spezialfall.
Betrachtet man die Hauptkrümmungsradien t\, r» einer Eifläche
als Funktionen auf dem sphärischen Bild, und ist x der Einheitsvektor
der Flächennormale, so genügen bei stetigem r;- die Funktionen
Fi (x) — i'i (— x) (z = 1, 2)
den Bedingungen des Hilfssatzes. Es gibt also mindestens ein
Paar von Gegenpunkten, in denen die beiden Hauptkrümmungs-
radien paarweise einander gleich sind, in denen also die Dupin-
schen lndikatrizen einander kongruent sind. Wir wollen aber noch
zeigen, daß man auch ein derartiges Punktepaar finden kann,
für das diese lndikatrizen einander homothetisch sind. Dazu be-
nötigen wir einige Tatsachen aus der relativen Flächentheorie.8)
Sind zwei konvexe Flächen a und A durch parellele Normalen
punktweise eindeutig aufeinander bezogen, so gibt es in jedem
Paar entsprechender Punkte zwei Paare einander zugeordneter
und paralleler Fortschreitungsrichtungen, die der Relativkrümmungs-
linien der einen Fläche bezüglich der anderen. Die Verhältnisse
der Normalkrümmungen der beiden Flächen in diesen Richtungen
sind die Relativkrümmungsradien. Durch jeden Flächenpunkt gehen
genau zwei solcher Richtungen mit Ausnahme der singulären
Stellen des Netzes der Relativkrümmungslinien, die den Nabel-
punkten der gewöhnlichen Flächentheorie entsprechen und in
denen die Relativkrümmungsradien einander gleich, entsprechende
Richtungen sämtlich parallel und die Verhältnisse entsprechender
Normalkrümmungen konstant sind, in denen die DuPiNschen In-
dikatrizen also homothetisch sind. Zur Existenz einander homo-
thetischer lndikatrizen in Gegenpunkten von Eiflächen führt die
bekannte Tatsache9), daß es auf einer Fläche vom Typus der
Kugel kein singularitätenfreies Kurvennetz gibt. Daraus schließt
man: Es existiert mindestens ein Relativnabelpunkt der Eifläche a
8) W. Süss, Zur relativen Differentialgeometrie, I. Jap. Journ. of. Math.
Bd. 4, 1927, S. 57-75.
ü) Vergl. z. B. H. Kneser, Untersuchungen zur Quantentheorie. Math.
Ann. 84, 1921, insbesondere S. 300—302. Oder: H. Kneser, Reguläre Kur-
venscharen auf den Ringflächen. Math. Ann. 91, 1924, S. 135ff.
W. Süss: Über Krümmungseigenschaften
laufssinn hat, so müßten die Bilder der Ausgangs- und Endlage
auch entgegengesetzt gerichtet sein, während die Abbildung sich
nur stetig ändern kann. Das widerspricht aber dem Brouwer-
schen Satz vom Abbildungsgrad bzw. seinem lange bekannten
eindimensionalen Spezialfall.
Betrachtet man die Hauptkrümmungsradien t\, r» einer Eifläche
als Funktionen auf dem sphärischen Bild, und ist x der Einheitsvektor
der Flächennormale, so genügen bei stetigem r;- die Funktionen
Fi (x) — i'i (— x) (z = 1, 2)
den Bedingungen des Hilfssatzes. Es gibt also mindestens ein
Paar von Gegenpunkten, in denen die beiden Hauptkrümmungs-
radien paarweise einander gleich sind, in denen also die Dupin-
schen lndikatrizen einander kongruent sind. Wir wollen aber noch
zeigen, daß man auch ein derartiges Punktepaar finden kann,
für das diese lndikatrizen einander homothetisch sind. Dazu be-
nötigen wir einige Tatsachen aus der relativen Flächentheorie.8)
Sind zwei konvexe Flächen a und A durch parellele Normalen
punktweise eindeutig aufeinander bezogen, so gibt es in jedem
Paar entsprechender Punkte zwei Paare einander zugeordneter
und paralleler Fortschreitungsrichtungen, die der Relativkrümmungs-
linien der einen Fläche bezüglich der anderen. Die Verhältnisse
der Normalkrümmungen der beiden Flächen in diesen Richtungen
sind die Relativkrümmungsradien. Durch jeden Flächenpunkt gehen
genau zwei solcher Richtungen mit Ausnahme der singulären
Stellen des Netzes der Relativkrümmungslinien, die den Nabel-
punkten der gewöhnlichen Flächentheorie entsprechen und in
denen die Relativkrümmungsradien einander gleich, entsprechende
Richtungen sämtlich parallel und die Verhältnisse entsprechender
Normalkrümmungen konstant sind, in denen die DuPiNschen In-
dikatrizen also homothetisch sind. Zur Existenz einander homo-
thetischer lndikatrizen in Gegenpunkten von Eiflächen führt die
bekannte Tatsache9), daß es auf einer Fläche vom Typus der
Kugel kein singularitätenfreies Kurvennetz gibt. Daraus schließt
man: Es existiert mindestens ein Relativnabelpunkt der Eifläche a
8) W. Süss, Zur relativen Differentialgeometrie, I. Jap. Journ. of. Math.
Bd. 4, 1927, S. 57-75.
ü) Vergl. z. B. H. Kneser, Untersuchungen zur Quantentheorie. Math.
Ann. 84, 1921, insbesondere S. 300—302. Oder: H. Kneser, Reguläre Kur-
venscharen auf den Ringflächen. Math. Ann. 91, 1924, S. 135ff.