Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der ^-Vertauschungs-Caicüi.

Von
Max Steck in München,
§ 1. Einleitung.
In einer früheren Arbeit9 wurde gezeigt, daß die beiden zum
Aufbau der synthetischen Geometrie nach axiomatischen Gesichts-
punkten und im Sinne der durchgehenden Einhaltung der Rein-
heit der Methode benötigten wichtigen Vertauschungsaxiome Vi
und V2 -) je einen Vertauschungs-Calcül ermöglichen, sodaß mit
den unter Vt bzw. V2 fallenden „kleinen“ bzw. „großen“ Ver-
tauschungen (1\ bzw. nach bestimmten (bewiesenen) Regeln
formal operiert und geometrisch „gerechnet“ werden kann. Diese
Regeln („Rechengesetze“) sind bewiesene Invarianzeigenschaften
einer (ursprünglichen) Pascal-Anordnung (P. A. p0), die sechs
Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 der Ebene dann bilden, wenn für die
Punkte
(12) >< (45) = Ρ/θξ (23)X(56) = P2(°), (34) X (61) = P3<°)
gilt: (P/o) P2(0) P3(0)) = Po kollinear.
Übt man nämlich auf irgendeine in einem geometrischen Zu-
sammenhang auftretende oder herzustellende Pascalfigur P. A. p0
eine „kleine“ bzw. eine „große“ Vertauschung aus, so kann diese
Operation als geometrische Abbildung der ursprünglichen Pascal-
figur gedeutet und demgemäß auch als Abbildungsaussage for-
muliert werden. Jede Calciil-Regel beschreibt dann eine bestimmte
und wohldefinierte Abbildung.
Die Erschließung der Struktur beider Vertauschungsaxiome
gelingt dann, wenn man nicht nur einfache Vertauschungen aus-
Ö Μ. Steck, Zur Struktur der Vertauschungsaxiome (Vertauschungs-
Calcül). Sitz.-Ber. d. Heidelbg. Akad. d. Wiss., math.-nat. Kl., 1934. 16. Abh.
(aus der Festschrift für H. Liebmann).
2) H. Liebmann, Synthetische Geometrie, Leipzig und Berlin, 1934,
S. 11; 14.