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https://doi.org/10.11588/diglit.43722#0009
Zur Geometrie der konformen Abbildungen
5
In Worten: Von den beiden Kurvennetzen, die aus den Nullkurven
zweiter Art von u und v gebildet werden, ist jedes das Diagonal-
netz des andern.
4. Betrachten wir noch die beiden Flächen, die man früher
zur Veranschaulichung von Sätzen der Funktionentheorie zu be-
nützen pflegte, nämlich die Flächen, die sich ergeben, wenn man
x,y, u bzw. x,y, v zu Cartesischen Koordinaten eines Raumpunktes
nimmt. Wir wollen sie die «-Fläche und «-Fläche nennen. Die
Nullkurven zweiter Art der Funktionen u und v sind die Grund-
risse der Asymptotenkurven der u-Fläche und v-Fläche. Denn
z. B. die Grundrisse der Asymptotenkurven der «-Fläche genügen
der mit (1) übereinstimmenden Differentialgleichung
Nu
dx '2 4~ 2
Nu
fix dy
dx dy
5. Der unter Nr. 2 bewiesene Satz stellt eine geometrische
Eigenschaft LAPLACEscher Felder in der Ebene dar. Haben die
LAPLACEschen Felder im Raum und in Räumen höherer Dimension
ähnliche Eigenschaften? Und ferner: Gibt es verwandte Eigen-
schaften skalarer Felder, die zu andern partiellen Differential-
gleichungen als der LAPLACEschen gehören? Das werde mit Hilfe
der Vektorrechnung untersucht.
Bezeichnen , e2,..., en Einheitsvektoren in den Achsen eines
rechtwinkligen Koordinatensystems in einem Raum von n Dimen-
sionen und JCj, x.,,..., xn die Koordinaten eines veränderlichen
Punktes in diesem Raume, so erhält man bei Verwendung Grass-
MANNscher Symbolik
so daß die LAPLACEsche Differentialgleichung die Form annimmt
[Z)2« (et2e22-(“ ■ ■ • ßn')] — 0.
Im Falle « = 2 kann man (e124_e22) in die Faktoren (e14-^’e2)
und (et — ie.j) zerlegen, aber letztere beiden Ausdrücke stellen
isotrope, d. h. nach den unendlich fernen imaginären Kreispunkten
gerichtete Vektoren dar, weshalb die LAPLACEsche Gleichung in
diesem Fall ausdrückt, daß die zu irgendeiner Stelle des Feldes
gehörigen Nullrichtungen zweiter Ordnung harmonisch konjugiert
’) S. etwa Pascal-Timerding, Repertorium der höheren Mathematik,
II; 2, 1922, S. 1081, Gl. (57).
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In Worten: Von den beiden Kurvennetzen, die aus den Nullkurven
zweiter Art von u und v gebildet werden, ist jedes das Diagonal-
netz des andern.
4. Betrachten wir noch die beiden Flächen, die man früher
zur Veranschaulichung von Sätzen der Funktionentheorie zu be-
nützen pflegte, nämlich die Flächen, die sich ergeben, wenn man
x,y, u bzw. x,y, v zu Cartesischen Koordinaten eines Raumpunktes
nimmt. Wir wollen sie die «-Fläche und «-Fläche nennen. Die
Nullkurven zweiter Art der Funktionen u und v sind die Grund-
risse der Asymptotenkurven der u-Fläche und v-Fläche. Denn
z. B. die Grundrisse der Asymptotenkurven der «-Fläche genügen
der mit (1) übereinstimmenden Differentialgleichung
Nu
dx '2 4~ 2
Nu
fix dy
dx dy
5. Der unter Nr. 2 bewiesene Satz stellt eine geometrische
Eigenschaft LAPLACEscher Felder in der Ebene dar. Haben die
LAPLACEschen Felder im Raum und in Räumen höherer Dimension
ähnliche Eigenschaften? Und ferner: Gibt es verwandte Eigen-
schaften skalarer Felder, die zu andern partiellen Differential-
gleichungen als der LAPLACEschen gehören? Das werde mit Hilfe
der Vektorrechnung untersucht.
Bezeichnen , e2,..., en Einheitsvektoren in den Achsen eines
rechtwinkligen Koordinatensystems in einem Raum von n Dimen-
sionen und JCj, x.,,..., xn die Koordinaten eines veränderlichen
Punktes in diesem Raume, so erhält man bei Verwendung Grass-
MANNscher Symbolik
so daß die LAPLACEsche Differentialgleichung die Form annimmt
[Z)2« (et2e22-(“ ■ ■ • ßn')] — 0.
Im Falle « = 2 kann man (e124_e22) in die Faktoren (e14-^’e2)
und (et — ie.j) zerlegen, aber letztere beiden Ausdrücke stellen
isotrope, d. h. nach den unendlich fernen imaginären Kreispunkten
gerichtete Vektoren dar, weshalb die LAPLACEsche Gleichung in
diesem Fall ausdrückt, daß die zu irgendeiner Stelle des Feldes
gehörigen Nullrichtungen zweiter Ordnung harmonisch konjugiert
’) S. etwa Pascal-Timerding, Repertorium der höheren Mathematik,
II; 2, 1922, S. 1081, Gl. (57).