Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Karl Heinrich Berger: Eilinien mit

durchweg k' (s) = 0, also die Affinkrümmung Zc(s) = const. ist.
Hierdurch aber sind gerade die Kegelschnitte gekennzeichnet.
Wir wollen jedoch unseren Beweis, daß die Eilinie ein
Kegelschnitt ist, weiterhin ohne Heranziehung affin-differential-
geometrischer Hilfsmittel, bezw. -Sätze zu Ende führen.
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6. Wir knüpfen an 4. an, wonach die Eilinie (£* in Bezug auf
PP' parallel zu QQ' oder, was dasselbe ist, parallel zu t(P)
symmetrisch ist. Kurz gesagt: Die Eilinie ist bezüglich PP'
t (^-symmetrisch. Ebenso ist <5* bezüglich QQ' t (Q)-symmetrisch.
S* ist also zentrisch symmetrisch in Bezug auf den Schnittpunkt
S=(PP')X(QQ'),
der demzufolge als Mittelpunkt anzusprechen ist. Durch S gehen
alle Durchmesser und werden durch S halbiert. (Bei homogener
Massenbelegung des von (5* umrandeten Eibereichs ist S der
Schwerpunkt.)
Zu einem Paar konjugierter Durchmesser PP', QQ' von (£*
gehört genau eine Ellipse X, die mit (5* mindestens die vier
Punkte P, P', Q, Q' und die Tangenten t(P), t(JP'), t(Q), t(Q')
gemein hat. Außerdem haben $ und (S* denselben Mittelpunkt
S=(PP') X(QQ'), durch den beide ihre geradlinigen Schwer-
linien schicken. besitzt a fortiori alle Eigenschaften von (£*.
Wir behaupten dann:
$ und (5* haben nicht nur die vier Punkte P, Q, P', Q'
(einschließlich der Tangentenrichtungen in diesen Punkten) ge-
mein, sondern alle Punkte, also
@* = ^5).
Wir nehmen an, daß (5* und $ nicht durchweg identisch
seien, daß es also Punkte auf der einen Kurve gebe, die der
anderen nicht angehören.
Zunächst würde <5* = R schon folgen, wenn ein beliebiges
endliches Bogenstück FG beiden Kurven gemein wäre (Fig. 3).
In einem beliebigen Punkt K dieses Bogenstücks nämlich haben
(5* und $ auch dieselbe Tangentenrichtung /(TT). Beide Kurven
s) Aus der Geradlinigkeit der Schwerlinien einer Eilinie folgt durch
eine einfache Überlegung, daß diese Eilinie alle im folgenden verwendeten
Eigenschaften von @*, insbesondere auch die zentrische Symmetrie, besitzt,
sodaß also der folgende Beweis auch gilt, wenn allein die Geradlinigkeit
der Schwerlinien vorausgesetzt ist.