Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Abbildung des hyperbolischen und des
elliptischen Raumes im Euklidischen Raum.
Von
Lothar Heffter in Freiburg i. B.

Ob der reale Raum, in dem wir leben, parabolisch (Euklidisch),
elliptisch oder hyperbolisch ist — um nur diese drei Möglichkeiten
in Betracht zu ziehen —, wissen wir bekanntlich nicht, und wir
haben vorerst wenig Aussicht, diese Frage zu entscheiden. Wäh-
rend wir uns aber von den Eigenschaften des Raumes, wenn er
Euklidisch sein sollte, eine völlig befriedigende Vorstellung machen
können, scheint mir das nicht in gleichem Maße von den beiden
andern Fällen zu gelten. So schön und wertvoll das von F. Klein x)
eingeftihrte „Modell“ ist, bei dem das Innere einer „großen“
reellen Kugel (oder einer anderen elliptischen Fläche) des Eukli-
dischen Raumes als Bild des hyperbolischen Raumes, ja als
dieser selbst angesehen wird, so sehr widerstrebt es uns doch,
uns den wirklichen Raum so vorzustellen. Können wir uns doch
kaum vorstellen, daß der Raum durch eine, wenn auch noch so
große Kugelfläche abgeschlossen sei, die nicht durchschritten
werden könnte und jenseits deren kein reeller Punkt mehr an-
zutreffen wäre! — Und wenn wir für den elliptischen Raum als
KLEiN’sches Modell den Euklidischen Raum benutzen, bei dem
nur die Auszeichnung der uneigentlichen Ebene durch die einer
imaginären Kugelfläche ersetzt ist, so erwachsen auch hier der
Vorstellung beträchtliche Schwierigkeiten.
Diese Schwierigkeiten sucht in beiden Fällen die nachfolgende
Umgestaltung der KLEiN’schen Modelle zu beseitigen. Sie scheint
im ganzen noch nicht beachtet worden zu sein, wenn auch im
*) F. Klein, Gött. Nachr. 1871. — Gesammelte mathematische Abhand-
lungen I. (1921) S. 244 ff.