Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Lothar Heffter: Abbildung des hyperbolischen

einzelnen manche der benutzten Gedanken und Formeln vielfach
in der Literatur auftreten 2).

I. Die hyperbolische Gerade.
Auf einer Euklidischen Geraden sei von einem Nullpunkt O
aus mit beliebiger Längeneinheit ein Abszissensystem x ausgelegt,
und die Punkte x = + 1 seien die Enden E\, E-\ des hyper-
bolischen Modells (—1, +1).
Der Ab stand zweier Punkte Plf P2 des Modells wird hy-
perbolisch gemessen, d. h. er ist
(1) ’/2 log (P, P.. £_, £,) = Arth (-7==^) •
Eine hyperbolische Bewegung im Modell, wobei der Punkt x0
nach O verschoben wird, wird dargestellt durch

Die Enden und nur sie bleiben bei der Bewegung in Ruhe.
Abbildung. — Setzt man
(3) x = th § , £ = Arth x,
so entsteht als Bild des Modells die unendliche hyperboli-
sche Gerade mit den beiden voneinander verschiedenen
unendlich fernen Enden Ex , E . O entspricht sich selbst. Die
hyperbolisch gemessene Strecke P< P» des Modells ist nach
(1) und (3)
(4) Arth ( k ) = Arth [th “ 51)1 = ~ ’
d. h. gleich der Euklidisch gemessenen Bildstrecke der unend-
lichen hyperbolischen Geraden.
Die hyperbolische Bewegung (2) im Modell geht nach der-
selben Rechnung in die Euklidische Bewegung über
(5) £' = £ —£0-
Die Euklidische Gerade, in der nur die Punkte 4~ a> und — oo
als voneinander verschieden angesehen werden, ist also als

2) Für die Geometrie in den Modellen benutze ich dabei überall die
Darstellung meines Lehrbuches der analytischen Geometrie, Bd. III. Nicht-
euklidische Geometrie. Karlsruhe, G. Braun, 1929. Hier zitiert als N E G.