Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

und des elliptischen Raumes im Euklidischen Raum

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eine unendliche hyperbolische Gerade zu betrachten. Ihre Stücke
werden Euklidisch gemessen.
Wenn man auf der Geraden statt O einen andern Nullpunkt
O' wählt, so erhält man zwar ein anderes Modell als vorher.
Aber, wenn man dann auch hier die der Abbildung (3) ent-
sprechende vornimmt, so bekommt man im ganzen doch wieder
dieselbe unendliche hyperbolische Gerade, in der nur der Null-
punkt verschoben ist.

II. Die hyperbolische Ebene.

In einer Euklidischen Ebene werde ein beliebiger Anfangspunkt
O als Träger eines gleichseitig orthogonalen Koordinatensystems
x, y gewählt. Der Einheitskreis um O sei Modell einer hyper-
bolischen Ebene. Die Sehnen des Kreises sind hyperbolische
Gerade im Modell. Die Strecken und Winkel im Modell werden
so gemessen, daß

(6) P2 — y., log (Pj P.2 El E2), wenn Er, E2 die Enden von P2,
(7) (fih ^2)= 9^ log (.7i 7-2 h wenn p , z2 die Tangenten
vom Schnittpunkt g2 g.2 an den Modellkreis sind. Sind g2, g.2 zwei
Gerade durch O, so ist die Messung (7) also Euklidisch.
Die Bewegungen im Modell, bei denen sich — was uns
hier genügt — ein Punkt jc0 auf der v-Achse nach O verschiebt,
sind dargestellt durch

(8)


V(2 = 1—^02
1 — x0 x’ ' 1 — x0 X

Die beiden Punkte x = + l bleiben fest. Alle anderen Punkte des
Modells beschreiben Abstandslinien, die sich als Ellipsen mit jenen
beiden Punkten als Scheiteln der großen Achse darstellen. Die
Punkte des Einheitskreises selbst bewegen sich auf diesem.
Abbildung. — Der Modellpunkt P
(9) x = r cos cp, y = r sin cp (r^l)
wird abgebildet durch den Punkt EI
(10) $ = q cos (p, t] = p sin cp,
wobei

(11)

r = th p, p = Arth r,