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https://doi.org/10.11588/diglit.43728#0006
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Lothar Heffter : Abbildung des hyperbolischen
also £ oo und die zwei Punkte (oo, <p) und (oo, Cp -j- n) voneinander
verschieden sind. Die Bildpunkte H der Modellpunkte P er-
füllen die unendliche hyperbolische Ebene.
O entspricht sich selbst, jedem Durchmesser des Modells die-
selbe unendlich verlängerte Gerade als „hyperbolische Gerade“.
— Eine beliebige Modellsehne, die nicht Durchmesser ist und
die wir parallel der //-Achse annehmen dürfen, hat die Gleichung
(12) x = c oder r = - -— ( | c | < 1).
COS (p
Ihr Bild in der hyperbolischen Ebene, das wir ebenfalls als „hyper-
bolische Gerade“ bezeichnen, ist nach (11)
(13) p==Arth
Dies ist — Euklidisch gesehen — eine hyperbelastähnliche Kurve
mit den Asymptoten OEX = , 0E2 = e2, wenn Ex, E2 die
Enden von x = c im Modell sind. Jede hyperbolische Gerade
hat also zwei verschiedene unendlich ferne Enden. — Nennen
wir zwei hyperbolische Gerade, deren Modellbilder sich auf dem
Einheitskreis schneiden, parallel, so haben also zwei parallele
hyperbolische Gerade einen unendlich fernen Punkt gemein.
Bewegungen.-— Den Bewegungen im Modell entsprechen
solche in der unendlichen hyperbolischen Ebene. Kreisbewegungen
um O entsprechen konzentrische solche. Bei Bewegungen im
Modell, bei denen sich ein Punkt auf der v-Achse bewegt, ent-
sprechen den von den andern Punkten im Modell beschriebenen
Abstandslinien in der unendlichen hyperbolischen Ebene Kurven,
die sich asymptotisch an die positive und die negative Jc-Achse
anschmiegen.
Bei dieser hyperbolischen Bewegung der Ebene, bei der ein
Punkt geradlinig nach O wandert, streckt sich die durch ihn
gehende, zur x-Achse senkrechte, hyperbolische, Euklidisch ge-
sehen gekrümmte „Gerade“ zu einer Euklidisch gesehen geraden
Linie, während umgekehrt die vorher durch O gehende, mit der
//-Achse zusammenfallende Gerade sich Euklidisch krümmt.
Messungen. — Als Maßzahl jeder Strecke einer hyperboli-
schen Geraden, bezw. des Winkels zweier hyperbolischen Geraden
in der unendlichen Ebene wird die hyperbolisch gemessene Maß-
zahl der Bildstrecke, bezw. des Bildwinkels im Modell definiert.
Lothar Heffter : Abbildung des hyperbolischen
also £ oo und die zwei Punkte (oo, <p) und (oo, Cp -j- n) voneinander
verschieden sind. Die Bildpunkte H der Modellpunkte P er-
füllen die unendliche hyperbolische Ebene.
O entspricht sich selbst, jedem Durchmesser des Modells die-
selbe unendlich verlängerte Gerade als „hyperbolische Gerade“.
— Eine beliebige Modellsehne, die nicht Durchmesser ist und
die wir parallel der //-Achse annehmen dürfen, hat die Gleichung
(12) x = c oder r = - -— ( | c | < 1).
COS (p
Ihr Bild in der hyperbolischen Ebene, das wir ebenfalls als „hyper-
bolische Gerade“ bezeichnen, ist nach (11)
(13) p==Arth
Dies ist — Euklidisch gesehen — eine hyperbelastähnliche Kurve
mit den Asymptoten OEX = , 0E2 = e2, wenn Ex, E2 die
Enden von x = c im Modell sind. Jede hyperbolische Gerade
hat also zwei verschiedene unendlich ferne Enden. — Nennen
wir zwei hyperbolische Gerade, deren Modellbilder sich auf dem
Einheitskreis schneiden, parallel, so haben also zwei parallele
hyperbolische Gerade einen unendlich fernen Punkt gemein.
Bewegungen.-— Den Bewegungen im Modell entsprechen
solche in der unendlichen hyperbolischen Ebene. Kreisbewegungen
um O entsprechen konzentrische solche. Bei Bewegungen im
Modell, bei denen sich ein Punkt auf der v-Achse bewegt, ent-
sprechen den von den andern Punkten im Modell beschriebenen
Abstandslinien in der unendlichen hyperbolischen Ebene Kurven,
die sich asymptotisch an die positive und die negative Jc-Achse
anschmiegen.
Bei dieser hyperbolischen Bewegung der Ebene, bei der ein
Punkt geradlinig nach O wandert, streckt sich die durch ihn
gehende, zur x-Achse senkrechte, hyperbolische, Euklidisch ge-
sehen gekrümmte „Gerade“ zu einer Euklidisch gesehen geraden
Linie, während umgekehrt die vorher durch O gehende, mit der
//-Achse zusammenfallende Gerade sich Euklidisch krümmt.
Messungen. — Als Maßzahl jeder Strecke einer hyperboli-
schen Geraden, bezw. des Winkels zweier hyperbolischen Geraden
in der unendlichen Ebene wird die hyperbolisch gemessene Maß-
zahl der Bildstrecke, bezw. des Bildwinkels im Modell definiert.