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https://doi.org/10.11588/diglit.43728#0007
uncl des elliptischen Raumes im Euklidischen Raum
7
Nach I. und (7) werden also die Strecken auf den hyperbolischen
Geraden durch O und die Winkel mit dem Scheitel O einfach
Euklidisch gemessen. Sind aber , H2 zwei Punkte einer nicht
mit O inzidierenden Geraden, P{, P2 ihre Bildpunkte im Modell,
so hat nach der Definition ihre Strecke die Maßzahl
(14) Vs log (Pt P2 Et £.2) = V2 log P2 e, e2)
= Vs log (^1 IE 61 e2),
die also von O aus mit Hilfe eines Fernrohrs bestimmt werden
kann. — Oder man bewegt PY im Modell geradlinig hyperbolisch
nach O, wobei auch geradlinig nach O wandert und ZG nach
/Z2 gelangen möge, und mißt dann O ü2 wieder einfach Eukli-
disch, da die Strecke PY P2 und folglich auch Zft U2 sich bei der Be-
wegung hyperbolisch nicht geändert hat. Ebenso kann man den
Winkel zweier beliebigen hyperbolischen Geraden mit dem Schnitt-
punkt 21 messen, indem man den Modellbildpunkt S von 2 und
damit 2 selbst durch eine Bewegung zuerst nach O führt, um
dann Euklidisch messen zu können.
Linienelement. — Berechnet man unter Benutzung der
Polarkoordinaten p, cp nach der vorangehenden Definition (14)
und NEG S. 16 (53a) das Linienelement, d. h. die infinitesimale
Strecke zwischen den Punkten q, cp und -j- dq , cp-\-dcp, so
findet man
(15) g?s2 = c/p2-ps/z2^ dcp'2,
d. h. genau den Ausdruck, der für eine Fläche mit dem konstan-
ten negativen Krümmungsmaß —1 gilt. Man kann deshalb unsere
unendliche hyperbolische Ebene als eine Fläche mit dem kon-
stanten inneren Krümmungsmaß —1 bezeichnen3).
Mit (15) besitzt man die Fundamentalgrößen E, F, G und
damit die Differentialgleichung der geodätischen Linien:
('6) th?g-2(g)2-shV=0.
Dieser genügen alle hyperbolischen Geraden, d. h. nach (13) die
Funktionen
(17) $> = Arth (-z-—j—r) , wo c und a Konstanten,
_ \cos (<? + «)/
3) Durch Änderung der Längeneinheit des Koordinatensystems, also
des Modellkreises, würde man einer anderen hyperbolischen Ebene das
Krümmungsmaß —1 zuschreiben, oder q. i. e. durch Wahl eines Modell-
kreises mit einem von 1 verschiedenen Radius kann man eine hyperbolische
Ebene mit jedem beliebigen negativen Krümmungsmaß herstellen.
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Nach I. und (7) werden also die Strecken auf den hyperbolischen
Geraden durch O und die Winkel mit dem Scheitel O einfach
Euklidisch gemessen. Sind aber , H2 zwei Punkte einer nicht
mit O inzidierenden Geraden, P{, P2 ihre Bildpunkte im Modell,
so hat nach der Definition ihre Strecke die Maßzahl
(14) Vs log (Pt P2 Et £.2) = V2 log P2 e, e2)
= Vs log (^1 IE 61 e2),
die also von O aus mit Hilfe eines Fernrohrs bestimmt werden
kann. — Oder man bewegt PY im Modell geradlinig hyperbolisch
nach O, wobei auch geradlinig nach O wandert und ZG nach
/Z2 gelangen möge, und mißt dann O ü2 wieder einfach Eukli-
disch, da die Strecke PY P2 und folglich auch Zft U2 sich bei der Be-
wegung hyperbolisch nicht geändert hat. Ebenso kann man den
Winkel zweier beliebigen hyperbolischen Geraden mit dem Schnitt-
punkt 21 messen, indem man den Modellbildpunkt S von 2 und
damit 2 selbst durch eine Bewegung zuerst nach O führt, um
dann Euklidisch messen zu können.
Linienelement. — Berechnet man unter Benutzung der
Polarkoordinaten p, cp nach der vorangehenden Definition (14)
und NEG S. 16 (53a) das Linienelement, d. h. die infinitesimale
Strecke zwischen den Punkten q, cp und -j- dq , cp-\-dcp, so
findet man
(15) g?s2 = c/p2-ps/z2^ dcp'2,
d. h. genau den Ausdruck, der für eine Fläche mit dem konstan-
ten negativen Krümmungsmaß —1 gilt. Man kann deshalb unsere
unendliche hyperbolische Ebene als eine Fläche mit dem kon-
stanten inneren Krümmungsmaß —1 bezeichnen3).
Mit (15) besitzt man die Fundamentalgrößen E, F, G und
damit die Differentialgleichung der geodätischen Linien:
('6) th?g-2(g)2-shV=0.
Dieser genügen alle hyperbolischen Geraden, d. h. nach (13) die
Funktionen
(17) $> = Arth (-z-—j—r) , wo c und a Konstanten,
_ \cos (<? + «)/
3) Durch Änderung der Längeneinheit des Koordinatensystems, also
des Modellkreises, würde man einer anderen hyperbolischen Ebene das
Krümmungsmaß —1 zuschreiben, oder q. i. e. durch Wahl eines Modell-
kreises mit einem von 1 verschiedenen Radius kann man eine hyperbolische
Ebene mit jedem beliebigen negativen Krümmungsmaß herstellen.