Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Satz von Bertihi

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man sie rational durch die A- und eine algebraische Funktion
derselben ausdrücken, und zwar so, daß wieder rational durch
jene Koeffizienten ausgedrückt ist. Im Grunde handelt es sich
gerade um die zweckmäßige Wahl dieser Größe. Wir schreiben
den Faktor demgemäß
f (x,, . . . , Xm ; , . . . , Ar, f^)
oder abgekürzt
/(je; Ä, fT)
und die irreduzible Gleichung zwischen den 2;- und dem pt, die
vom n-ten Grad in sein möge,
F (/i, pT) = 0.
Ihre Wurzeln seinen . ...,(a/7. Wegen der Irreduzibilität von
F ist
A 7h A ' ' ’ ' A A-
durch jedes der ^-Polynome f (x; A, teilbar. Wegen der Wahl
von sind keine zwei von diesen identisch; weil der Koeffizient
des höchsten Gliedes Eins ist, können sich auch keine zwei unter
ihnen nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden; endlich
haben wegen der Irreduzibilität von f keine zwei einen gemein-
samen Teiler niedrigerer Dimension. Daher ist
A 7h A ' ’' ’ A A- fjpr
n
auch durch das Produkt TI f(x;Ä, teilbar, das rational in den
Z = 1
A ist, und zwar ist
(3) A • II f (x; A) = (I (x; 2)
i=i
zugleich eine ganze algebraische Funktion, also eine ganze ratio-
nale Funktion der A-.
Diese muß homogen und linear sein, da das Produkt nur von
den Verhältnissen der At abhängt; sie kann auch nicht durch d
teilbar sein, da sonst der Quotient von den A- unabhängig wäre,
während doch
A 7h A ' • • • A A <?r
keinen derartigen Teiler besitzt.
Setzt man noch
A 7h 4-F Ar (pr = (T> (x, A)-g (x, 2)
= A ■ II f (x; A, ■ g (x, A),