Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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L. Stickelberger:

so hat in g (x; X) das höchste Glied den Koeffizienten Eins; also
ist auch (nach Kronecker)
A ■ g (x, X) — (x, X)
rational, ganz und linear in den 4Z. Außerdem ist aber das Produkt
0 (x, 4) • $ (x, X) — A • (4X (f1 -j- • • • • -|- 2,- (fr)
durch A teilbar. Da der erste Faktor diese Eigenschaft nicht hat,
so kommt sie dem zweiten zu; d. h. g selber ist von den 4Z un-
abhängig und muß gleich Eins sein. Es besteht also die Glei-
chung (1) für
/) = /(*; 4, fX).
Aus dem Vorangehenden wissen wir außerdem, daß jedes
Produkt aus einigen der /), mit A multipliziert, eine ganz alge-
braische Funktion der 2 ist.
Bilden wir daher mit einer neuen Variablen z
(4) A-H [f (x; X gt) - z] = X(x; X, z),
i — 1
so ist dies ein Polynom in xx, .. . . , xm, z (von 72-tem Grad in z)
und außerdem eine ganze rationale Funktion der X, und zwar
aus dem vorhin angegebenen Grunde in Bezug auf diese homo-
gen und linear.
Für den Fall r — 2 lehrt diese Gleichung durch einen bekannten
funktionentheoretischen Schluß, daß -A und für nicht zu spezi-
4g
eile Werte & der x, rational durch /(£; 4, g) ausdrückbar sind.
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Denn ^ = /($; 4, ist als algebraische Funktion von -1 in dem
durch F(4, //) = 0 definierten Funktionskörper vom ersten Grade.
Ich ziehe es aber vor, auf rein algebraischem Boden zu bleiben.
Für unbestimmte Werte der 4Z sind die n Polynome /(x; 4,
unter sich verschieden. Da ferner mit 42 go2 -j- • • • • -|- 4,. <pr
keinen gemeinsamen Teiler hat, so sind auch die Funktionen
/(x; 4, fAi), die zu zwei verschiedenen Werten von 4X und den
nämlichen Werten von 42, ...., 4r gehören, durchaus verschieden.
Nun gebe man den X; solche Werte ...., daß diese 2/?
verschiedenen Polynome durchaus verschiedene Werte vt, vt an-
nehmen.
Schreibt man