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https://doi.org/10.11588/diglit.43734#0007
Satz von Bertini
7
X ($'■> A; z) = Ar M (z) N (2),
so können M(z), N (2) keinen gemeinsamen Teiler haben, weil
sonst zu verschiedenen Werten von teilweise gleiche Werte
vi, vt gehören würden. Somit ist vermöge
X^;2;2) = 0
wirklich rational durch v, A2, 2,. ausdrückbar. Da ferner
die n-Werte die zu denselben A- und zu verschiedenen ge-
hören, verschieden sind, sind, wie bekannt, die ,w;- rückwärts durch
die vt und die Ak rational ausdrückbar. Somit sind Ar und durch
vi, A2, ...., Ar rational ausdrückbar (unabhängig von /).
Somit werden die Koeffizienten des Polynoms
f (x ; A = g (x; v, A2, . ... , 2r)
rationale Funktionen von v, A.>, , Ar, deren Generalnenner
also von den x, unabhängig ist.
Gibt man nun den x, andere, denselben Ungleichheitsbedin-
gungen genügende Werte £/, so ist nicht allein das entsprechende
= / (£'; 2, ^) == (7 (£'; v, 22, . ... , Ar)
rational durch v ausdrückbar, sondern es gilt auch das Umge-
kehrte. Dann sind aber diese Ausdrücke notwendig linear. Wegen
der Willkürlichkeit der £' ist also auch g (x; v, A2, ...., A,} linear
in v. Da aber der Nenner von den x, nicht abhängt und diese
lineare Funktion sich für x1 = $1> . . ., xm = auf v selbst redu-
ziert, ist der Nenner notwendig konstant, und wir haben
y7 (v; A, [A) = A Bv,
wo A, B Polynome in xx, .. . . , xm sind, die noch von A2, . . . , Ar
rational abhängen können.
Nun können wir aber statt Ax ebensogut etwa Ar bevorzugen.
Dieselbe Schlußweise ergibt dann
f (•£’> n) = Ar B' v,
wo nun A', B' noch Alf ...., Ar—i enthalten können. Wäre nun
B' von B verschieden, so wäre vermöge
(A —AZ) + (B-B')^ = O
v rational in Alf ...., Ar, d. h. n = l; d. h. keine Zerlegung von
^1 T’i H- • • • • -\~Arq>r. Es muß also vielmehr B = Br, A = A' sein,
d. h. A, B sind auch von Ar frei, und aus gleichem Grunde von
■U > • • • •, Ar 1.
7
X ($'■> A; z) = Ar M (z) N (2),
so können M(z), N (2) keinen gemeinsamen Teiler haben, weil
sonst zu verschiedenen Werten von teilweise gleiche Werte
vi, vt gehören würden. Somit ist vermöge
X^;2;2) = 0
wirklich rational durch v, A2, 2,. ausdrückbar. Da ferner
die n-Werte die zu denselben A- und zu verschiedenen ge-
hören, verschieden sind, sind, wie bekannt, die ,w;- rückwärts durch
die vt und die Ak rational ausdrückbar. Somit sind Ar und durch
vi, A2, ...., Ar rational ausdrückbar (unabhängig von /).
Somit werden die Koeffizienten des Polynoms
f (x ; A = g (x; v, A2, . ... , 2r)
rationale Funktionen von v, A.>, , Ar, deren Generalnenner
also von den x, unabhängig ist.
Gibt man nun den x, andere, denselben Ungleichheitsbedin-
gungen genügende Werte £/, so ist nicht allein das entsprechende
= / (£'; 2, ^) == (7 (£'; v, 22, . ... , Ar)
rational durch v ausdrückbar, sondern es gilt auch das Umge-
kehrte. Dann sind aber diese Ausdrücke notwendig linear. Wegen
der Willkürlichkeit der £' ist also auch g (x; v, A2, ...., A,} linear
in v. Da aber der Nenner von den x, nicht abhängt und diese
lineare Funktion sich für x1 = $1> . . ., xm = auf v selbst redu-
ziert, ist der Nenner notwendig konstant, und wir haben
y7 (v; A, [A) = A Bv,
wo A, B Polynome in xx, .. . . , xm sind, die noch von A2, . . . , Ar
rational abhängen können.
Nun können wir aber statt Ax ebensogut etwa Ar bevorzugen.
Dieselbe Schlußweise ergibt dann
f (•£’> n) = Ar B' v,
wo nun A', B' noch Alf ...., Ar—i enthalten können. Wäre nun
B' von B verschieden, so wäre vermöge
(A —AZ) + (B-B')^ = O
v rational in Alf ...., Ar, d. h. n = l; d. h. keine Zerlegung von
^1 T’i H- • • • • -\~Arq>r. Es muß also vielmehr B = Br, A = A' sein,
d. h. A, B sind auch von Ar frei, und aus gleichem Grunde von
■U > • • • •, Ar 1.