Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

mit konischen Krümmungslinien

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Ebenen senkrecht, ihre Kurven sind daher die „Planevolventen“
der von den Ebenen eingehüllten Kurve. Nun sollen die Tan-
genten aller Kurven der „ebenen“ Kurvenschar in ihren Schnitt-
punkten mit einer festen Kurve der zweiten Schar sich in einem
Punkte schneiden. Dieser feste Schnittpunkt muß also in allen
Ebenen der Schar liegen. Dies ist aber nur dann möglich,
wenn alle Ebenen einander entweder in einem und demselben
Punkte schneiden oder in einer Geraden. Im ersten Falle liegen
alle Kurven der sphärischen Schar auf Kugeln, die den gemein-
samen Punkt der Ebenen als Mittelpunkt haben, die Kurven der
zweiten Schar dagegen arten aus in die Berührungsradien der
Kugeln der ersten Schar. Die gesuchten Flächen sind also nichts
anderes als Kegel, und diese sind in der Tat zylindrokonische
Flächen, deren Peterson-Netz aus den Erzeugenden und den
sie senkrecht schneidenden Kurven, mithin aus Krümmungslinien,
besteht. Im zweiten Fall, wo also die Ebenen, in denen die
Kurven der ersten Schar liegen, einen Büschel bilden, arten die
Gesimsflächen in Drehflächen aus. Man überzeugt sich leicht, daß
auch diese Flächen der gestellten Bedingung genügen. Damit ist
die Gesamtheit der zylindrokonischen Flächen, die zu den von
Stäckel gesuchten Flächen gehören, erschöpft.
Die zylindrokonischen Flächen, auf denen das Peterson-
Netz aus Krümmungslinien besteht, sind entweder Kegel (mit be-
liebiger Leitkurve) oder Drehflächen.
Eigentliche Peterson-Flächen mit
konischen Krümmungslinien.
Nachdem die Sonderfälle erledigt sind, brauchen wir uns in
der Folge nur mit den Flächen zu befassen, auf denen die Krüm-
mungslinien sphärisch sind. Es war bereits bemerkt, daß in diesem
Falle die Kugeln, auf denen die Kurven der ersten Schar liegen,
alle Kugeln, die die Kurven der zweiten Schar enthalten, senkrecht
schneiden müssen. Nun ist aber bekannt, daß alle Kugeln, die
zwei feste Kugeln senkrecht schneiden, so liegen müssen, daß
ihre Mittelpunkte der Potenzebene der ersten beiden Kugeln an-
gehören. Um jeden Punkt der Potenzebene kann man eine und
nur eine Kugel legen, die die beiden Ausgangskugeln senkrecht
schneidet, und nicht nur diese, sondern alle und nur die, die mit
ihnen eine lineare Schar, ein Kugelbüschel, bilden. Daraus ergibt