Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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E. Salkowski : Die Petersonschen Flächen

sich sofort, daß die Kugeln der ersten Schar ihre Mittelpunkte
auf einer Geraden, der Achse dieses Büschels, haben. Diese
Gerade ist aber der Ort der Spitzen der Petersonkegel; sie
wird daher von allen Tangenten der Krümmungslinien, die der
zweiten Kugelschar angehören, geschnitten. Diese Krümmungs-
linien müssen somit ebene Kurven sein, und zwar liegen sie in den
Ebenen des Büschels, das durch die Achse des linearen Kugel-
büschels bestimmt ist. Da sie zudem sphärisch sind, besteht die
zweite Schar von Krümmungslinien aus Kreisen, die aus den
zugehörigen Kugeln durch die Ebenen eines Büschels herausge-
schnitten werden.
Daraus ergibt sich jetzt eine einfache Vorschrift für die Kon-
struktion der allgemeinsten Fläche der gesuchten Art:
In der Potenzebene einer linearen Kugelschar nehme man
eine beliebige Kurve an, lege um die Punkte dieser Kurve als
Mittelpunkte Kugeln, die den (reellen oder imaginären) Schnitt-
kreis der Kugelschar mit ihrer Potenzebene senkrecht schneiden.
Dann werden die gesuchten Flächen von diesen Kugeln senkrecht
und zwar in Kreisen geschnitten. Ist der Schnittkreis reell, so
kann man ihn durch eine Inversion so transformieren, daß er in
eine Gerade übergeht. Dazu hat man nur das Zentrum der In-
version in einen Punkt des Kreises zu legen. Da nun auch nach
der Transformation die invertierten Kugeln der zweiten Schar
das Bild des Kreises senkrecht schneiden müssen, geht diese in
eine Schar von Kugeln über, deren Mittelpunkte auf der Geraden
liegen, in die der Kreis übergeht. Dagegen wird die erste Kugel-
schar in ein Ebenenbüschel mit dieser Geraden als Achse ver-
wandelt. Dadurch aber wird die Fläche mit konischen Krümmungs-
linien in eine Drehfläche übergeführt.
Ist dagegen der Schnittkreis der Kugeln der Schar mit ihrer
Potenzebene imaginär, so läßt sich die Kugelschar in eine solche
konzentrischer Kugeln überführen, indem man eine der Nullkugeln
der Schar als Mittelpunkt der Inversion nimmt. Die einzigen
Flächen aber, die eine Schar konzentrischer Kugeln senkrecht
schneiden, sind die Ebenen durch den gemeinsamen Mittelpunkt
dies sind die Transformierten der zweiten Kugelschar — und
die Kegel, die im Mittelpunkt ihre Spitze haben. Wir haben also
das folgende Ergebnis:
Die allgemeinste Fläche, auf der die Krümmungslinien konische
Kurven sind, werden durch Inversion entweder der Drehflächen
oder der allgemeinen Kegelfläche erhalten.