Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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E. Salkowski: Die Petersonschen Flächen

Daß und 7?2 nur von u bezw. nur von u abhängen, ergibt
sich aus (6) und (7); danach ist nämlich
(14) A12 = U'2-P, 7?? = SB'2-P.

Bestimmung der Vektoren U und SB.
Die Gleichung (9) wird erfüllt, wenn einer der Vektoren U"
oder 33" verschwindet. Ist etwa SB" = 0, so artet die Kurve
5 = SB'
in einen festen Punkt aus. Dann fallen aber alle Berührungskegel
der Kurvenschar u zusammen. Die gesuchte Fläche müßte somit
dieser gemeinsame Berührungskegel selbst sein. Ein Kegel hat
indessen immer zylindrokonische, aber niemals doppelt konische
Krümmungslinien. Man übersieht daher von vornherein, daß die
Aufgabe keine Lösung haben kann, falls einer der Vektoren U"
und SB" gleich Null ist. Aus den Formeln ergibt sich das so: Legt
man den Koordinatenanfang in den festen Punkt 3, so ist auch
SB' = O,
somit SB = a konstant. Die Gleichung der Fläche (4) wäre demnach
U + a
u-\-v ’
dann aber ist wegen (8)
t7' + P = 0,
d. h.
U V = c (zz — v)-\-d.
Damit muß nach (5')
(U -p a)2 = c (u2 — zz2) d (u zz)
sein. Da die linke Seite von v nicht abhängig ist, so ist die
Gleichung nur dann erfüllt, wenn
c = cZ = O,
die Fläche (?) also ein Minimalkegel ist. Dieser Ausnahmefall bietet
aber kein sonderliches Interesse.
Bemerkung: Es scheint, als ob die Verschiebung des Koordinatenan-
fangs in den Punkt i) die Allgemeinheit der Rechnung beeinträchtigt. Dem
ist aber nicht so. Denn ist allgemein
SB' = a , SB = rt v + b,

so wird

U -|- SB = U + a v + b = 1t + (zz + zz) a ,