Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

mit konischen Krümmungslinien

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die der zweiten gehören dem linearen Büschel
JCi2 —2 —|—JC3 2— 2 2x3 = C (4 = 23)
an. Da für u — konst.

“ = tg F(u)

einen festen Wert hat, liegen die Krümmungslinien dieser Schar
in dem Ebenenbüschel, das durch die e3-Achse bestimmt ist; sie
sind also Kreise auf den Kugeln (25), und alle diese Kreise gehen
durch die Punkte (27), die dem Werte

v

des Parameters entsprechen. Wählt man einen dieser Punkte als
Mittelpunkt einer Kugel, so gehen bei Inversion an dieser Kugel
die Kreise in gerade Linien über, die alle durch einen festen
Punkt gehen. Die Flächen (24) sind also nichts anderes als die
Inversen der Kegelflächen. Die Spitze des Kegels — und damit
dieser selbst — ist allerdings nur dann reell, wenn c < 0 ist.
Ist dagegen c > 0, so schneiden alle Kugeln des Büschels
(26) einander in dem reellen Kreise


der (et, e.,)- Ebene. In diesem Falle wird eine Inversion an einer
Kugel, deren Mittelpunkt auf diesem Kreise liegt, den Kreis in
eine Gerade, den Kugelbüschel (26) in ein Ebenenbüschel und (25)
in eine Schar von Kugeln überführen, die sämtliche Ebenen des
Büschels senkrecht schneiden, deren Mittelpunkte also auf der
Achse des Büschels liegen. Dabei geht die Fläche (24) in eine
Drehfläche über. Diese Überlegung bestätigt die bereits von
Darboux bemerkte Tatsache, daß jede analytische Drehfläche
durch Inversionen in einen allgemeinen Kegel übergeführt werden
kann, wobei aber einer reellen Fläche der einen Art eine imagi-
näre der anderen entspricht.
Die formelmäßige Durchrechung macht keinerlei Schwierig-
keiten. Setzt man

m = / e3

uud wählt den Punkt