Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: RiEMANN’sches Integral

wiedergefunden und außerdem gezeigt, daß eine R-integrierbare
Funktion einer stetigen Funktion, also erst, recht eine R-integrier-
bare Funktion einer R-integrierbaren Funktion nicht wieder R-in-
tegrierbar zu sein braucht.
Den zweiten Teil des Satzes, d. h. die Formel (3), findet man
in der ersten Note des Herrn Wendelin; sie wird dort aber nur
unter der zusätzlichen Voraussetzung bewiesen, daß f(xlt ..., xn)
in Bezug auf alle n unabhängigen Veränderlichen beschränkte
Differenzenquotienten besitzt.

Beweis: Wir beweisen zunächst, daß F(t) über das Inter-
vall (ci, b} integrierbar ist.

Es sei
M= fin sup f(xr, ..., xn) ,
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atJ die Schwankung von F(t), aVQ für v = 1, 2, ..., n die Schwan-
kung von x,. (7) im Teilintervall (tQ,
Wird die positive Zahl s irgendwie vorgeschrieben, so können

wir zunächst zur Zahl q
bestimmen, daß

= 2^—eine positive Zahl <5 (?;) derart

f(xlf xn) — $») <y,

sobald (xx, ..., xn) und (£x, ..., $n) zwei Stellen in 53 sind, für
welche die Ungleichungen
W1 $i| <F. <5 (■?/) , . . . , \ Xn | W ö (;;)
£ (5
gelten. Sodann können wir zur Zahl a = die Zerlegung
3 so fein wählen, daß
r—1
(4) + l to)<Z<^ (/-= 1, 2, . . . , 7?) .
5 = 0
matisch-physikalischen Classe der k. b. Akademie der Wissenschaften zu
München 12, 1882, S. 240—242. Abgedruckt in Math. Annalen 20, 1882,
S. 122—124. — Vgl. auch E. W. Hobson, The theory of functions of a real
variable and the theory of Fourier’s series I (3. Aufl., Cambridge 1927),
S. 473 f.
4) H. Wendelin. Über die R-Integrierbarkeit von zusammengesetzten
Funktionen und eine Verallgemeinerung eines Satzes von H. B. Fine. An-
zeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien, math.-naturw. Klasse,
71, 1934, S. 198 201. — Nachtrag zur R-Integrierbarkeit von zusammen-
gesetzten Funktionen. Ebenda, S. 261 264.
6) Es kann M~>0 angenommen werden, da für M 0 der Satz trivialer-
weise richtig ist.