Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen

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Hiernach gilt folgende
Ergänzung zu Satz 2. Unter den Voraussetzungen des
Satzes 2 ist auch
■ r
IFfa, tp) db0 = lim f(x} ,..., fff),..., xn (4p, • ••,4o>))Ä-
3,,) 4(3)->0
sofern
r
lim / , in = 0
4(3)->o
r r
ist und V und die oben genannte Bedeutung haben.
0 = 1 o = 1
Insbesondere kann man bei jeder Zerlegung 3 gerade alle
diejenigen Teilbereiche bp weglassen, die an den Rand 9% von
93O Stoßen, d. h. Häufungspunkte auf 9% haben. Denn da 93O
meßbar ist, kann man eine aus achsenparallelen Quadraten zu¬
sammengesetzte Punktmenge SJt* finden, für die alle Punkte von
J 8
9t0 innere Punkte sind und deren JoRDANscher Inhalt J (9)1*) <2^
ist. Der Rand 91* von 9)1* hat von 9% einen positiven Abstand
<52(e)- Wählt man die Zerlegung 3 so fe’n> daß d (3X^(£)>
so liegen alle an 9c0 anstoßenden Teilbereiche b„ in 9)1*, für
dieselben ist also
r
KAPITEL II.
Anwendungen.
§ 1. Integrierbarkeit zusammengesetzter Funktionen.
Setzt man
f (xt , . . . , Xn) = Xr -|- X-2 -j- • • • -j- Xn ,
bzw.
Xn) = XlX2... Xn ,
so sichert Satz 1 die Existenz des Integrales der Summe, bzw.
des Produktes der n integrierbaren Funktionen x,. (f)6). Aus Formel
(3) folgt dann, daß
°) Zum Beweis dieser und ähnlicher Tatsachen hat schon P. du Bois-
Reymond Satz 1 herangezogen.