Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
mit den Teilpunkten tQ, f(te') = f8, g(tf) = g8 für ^ = 0,1 ,..., r— 1.
Dann ergibt partielle Summation
r— 1 r— 1
i f8 (g8+\ gf) = fr gr fo g8 0^9+1 (/9+1 fo) >
9=0 9=0
also Benutzung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
r—1
S f (^) 9' (a) (G+i — = f (ö) g (ö) — f («) g (a)
9=0
r — 1
- S 9 (^9 + 1) f «0) (^9 + 1 — ^9) >
9 = 0
wobei
^9 ^9 U + l , U 7; 9 <\ ^9 + 1 (/? === 0, 1 , • • • , 7 1) .
Wendet man jetzt Satz 1 oder speziell die Formel (10) auf jede
der beiden Summen an, so liefert bei den obigen Voraussetzungen
der Grenzübergang d (3) 0 unmittelbar die bekannte Formel
der partiellen Integration
& ?
\ f (0 9' (0 9t = f (ö) g (ö) — f (g) g (g) — / g (t) f (f) dt.
a . a
Insbesondere ergibt sich für f (t) = 1 die Formel
ft
y g' (0 dt = g(b) — g(g).
CI
§ 3. Einführung einer neuen Integrationsveränderiichen.
Die Funktion g (x) sei im Intervall (a, stetig, die Funktion
x = (p (f) im Intervall ( «, b) monoton im engeren Sinn und mit
integrierbarer Ableitung ausgestattet; es sei 99 (a) = a, cp (b) = ß.
Wir wollen, um die Anschauung festzulegen, etwa annehmen,
daß cp (t) im Intervall (ct,b) monoton steigt; dann ist, falls
a<fb , auch a<ßß.
Die Umkehrungsfunktion t = %(x) ist in (ci, by vorhanden
und stetig. Bedeutet
3*: ct = x0<xt < • • • <xe<xe_i< • • • <x, = ß
eine Zerlegung des Intervalles < «, ß > und, indem U = / (xe)
gesetzt wird,
3 : Cl = U < tr < • ■ • < tQ < u | J < • • • < tr = b