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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0035
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
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und und der Punkt liegt nicht auf dem Rande
eines der Quadrate £Ui, ..., Oz,,u_i, weil sonst einer der Punkte
Ai, A,,u-i die Forderung nicht erfüllen würde, der letzte
Punkt zu sein, welchen mit dem betreffenden Quadrat gemein-
sam hat. Es wäre jetzt nur noch denkbar, daß ein mit einer
der Strecken FMz einen inneren Punkt gemeinsam hat. Dann
muß ein Eckpunkt von auf dem Rand von O;. liegen. Da er
gleichzeitig ein Punkt von $ ist, muß dies bei unserer Kon-
struktion von ein von den Endpunkten verschiedener Eckpunkt
des Sehnenzuges 6z oder des Sehnenzuges 6z+i sein, der gleich-
zeitig auf Äz liegt; dann wäre aber A nicht der erste oder A;_
nicht der letzte Punkt von der in £b. liegt. Hiernach ist also
tatsächlich 6 ein Jordanpolygon.
Dasselbe gilt dann auch von demjenigen Sehnenpolygon 3*,
das aus 3 dadurch entsteht, daß man für A = Q, 1, ..., I — 1,
falls im Quadrat der Punkt P(/Q liegt, die Strecke E).A). durch
den Streckenzug AP(/.,<) Az ersetzt. Da A mit jeder mod (ö — ci)
kongruenten Zahl gleichwertig ist, können wir annehmen, daß
T;.<4< n.
Das Polygon 6* habe insgesamt r Eckpunkte. Wir fügen
in der Ungleichung (28) noch die Zahlen A ein und ersetzen
dann alle Zahlen, beginnend mit /0 = ci und zyklisch fortfahrend,
der Reihe nach durch die Zahlen t0, tr, t2, ..., tr, die ihnen
mod (ö — a) kongruent sind und im Intervall <a, b) liegen. Das
Sehnenpolygon gehört dann zur Zerlegung
3: a = to<tl<... <to<to+i<- --<tr = b,
bei welcher ä (3) < <5, und hat die im Hilfssatz 1 behaupteten
Eigenschaften.
§ 8. Der Inhalt der Bildpunktmenge bei eineindeutigen
und stetigen Abbildungen.
1. Auf einer Punktmenge 21 der (zz, u)-Ebene seien die Funk-
tionen X(zz,zz) und F(zz,zz) stetig. Die Menge der Punkte der
(x, z/)-Ebene, deren Koordinaten die Formeln
(29) x = X(zz,zz), z/=F(zz,u)
liefern, wenn der Punkt (zz, zz) die Menge 21 durchläuft, werde
mit 23 bezeichnet. Zwei verschiedenen Punkten von 21 sollen
hierbei stets zwei vermiedene Punkte der (x, z/)-Ebene zugeord-
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und und der Punkt liegt nicht auf dem Rande
eines der Quadrate £Ui, ..., Oz,,u_i, weil sonst einer der Punkte
Ai, A,,u-i die Forderung nicht erfüllen würde, der letzte
Punkt zu sein, welchen mit dem betreffenden Quadrat gemein-
sam hat. Es wäre jetzt nur noch denkbar, daß ein mit einer
der Strecken FMz einen inneren Punkt gemeinsam hat. Dann
muß ein Eckpunkt von auf dem Rand von O;. liegen. Da er
gleichzeitig ein Punkt von $ ist, muß dies bei unserer Kon-
struktion von ein von den Endpunkten verschiedener Eckpunkt
des Sehnenzuges 6z oder des Sehnenzuges 6z+i sein, der gleich-
zeitig auf Äz liegt; dann wäre aber A nicht der erste oder A;_
nicht der letzte Punkt von der in £b. liegt. Hiernach ist also
tatsächlich 6 ein Jordanpolygon.
Dasselbe gilt dann auch von demjenigen Sehnenpolygon 3*,
das aus 3 dadurch entsteht, daß man für A = Q, 1, ..., I — 1,
falls im Quadrat der Punkt P(/Q liegt, die Strecke E).A). durch
den Streckenzug AP(/.,<) Az ersetzt. Da A mit jeder mod (ö — ci)
kongruenten Zahl gleichwertig ist, können wir annehmen, daß
T;.<4< n.
Das Polygon 6* habe insgesamt r Eckpunkte. Wir fügen
in der Ungleichung (28) noch die Zahlen A ein und ersetzen
dann alle Zahlen, beginnend mit /0 = ci und zyklisch fortfahrend,
der Reihe nach durch die Zahlen t0, tr, t2, ..., tr, die ihnen
mod (ö — a) kongruent sind und im Intervall <a, b) liegen. Das
Sehnenpolygon gehört dann zur Zerlegung
3: a = to<tl<... <to<to+i<- --<tr = b,
bei welcher ä (3) < <5, und hat die im Hilfssatz 1 behaupteten
Eigenschaften.
§ 8. Der Inhalt der Bildpunktmenge bei eineindeutigen
und stetigen Abbildungen.
1. Auf einer Punktmenge 21 der (zz, u)-Ebene seien die Funk-
tionen X(zz,zz) und F(zz,zz) stetig. Die Menge der Punkte der
(x, z/)-Ebene, deren Koordinaten die Formeln
(29) x = X(zz,zz), z/=F(zz,u)
liefern, wenn der Punkt (zz, zz) die Menge 21 durchläuft, werde
mit 23 bezeichnet. Zwei verschiedenen Punkten von 21 sollen
hierbei stets zwei vermiedene Punkte der (x, z/)-Ebene zugeord-