DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0036
36
M. Müller : RiEMANN’sches Integral
net sein; die Formeln (29) sollen also eine eindeutige, stetige
und eindeutig umkehrbare Abbildung von 21 auf 23 vermitteln.
2. Wir stellen zunächst einige Tatsachen zusammen, von
denen wir im Folgenden Gebrauch machen.
Hilfssatz 2. Ist 21 eine abgeschlossene und beschränkte
Punktmenge, so ist auch die Bildmenge 23 abgeschlossen und
beschränkt20).
Hilfssatz 3. Besteht 21 aus inneren Punkten, existieren in
21 die partiellen Ableitungen Xu, Xv, Yu, Yv und ist die Funk-
tionaldeterminante
(30)
Xu (u, v) Xv (zz, u)
Yu (zz, zt) Yv (zz, v)
in 21 von Null verschieden, so besteht auch 23 aus inneren Punkten.
Beweis21): Ist Bo (x0, z/0) irgend ein Punkt aus 23, Ao (u^, v0)
der zugehörige Punkt von 21, so gibt es eine Kreisscheibe
(31) (zz —zz0)2 + (zz —y0)2^r2,
die nur Punkte von 21 enthält. Das Bild ihres Randes G ist nach
Hilfssatz 2 eine abgeschlossene Punktmenge der (x, z/)-Ebene,
die wegen der Eineindeutigkeit der Abbildung (29) vom Punkt Bo
einen positiven Abstand d hat. Wir wollen beweisen, daß alle
Punkte der Kreisscheibe
(32) (x — x0)2 + (z/ — z/0)2
zu 23 gehören, daß also Bo ein innerer Punkt von 23 ist. Dazu
wählen wir einen Punkt B' (x', z/z) beliebig aus der Kreisscheibe
(32) aus und bilden die Funktion
tu (zz, u) = [X (zz, v) — xz]2 4- [ Y (zz, zz) — z/z]2.
Dieselbe ist in der Kreisscheibe (31) stetig, besitzt also dort ein
Minimum, das an der Stelle A' (zzz, z/) angenommen werden möge.
Da der Abstand des Punktes B' vom Punkt £>0 höchstens
also kleiner als der Abstand des Punktes B' von G* ist, liegt A'
nicht auf G, sondern im Innern der Kreisscheibe (31). Dort exi-
stieren aber die Ableitungen von X(zz, v) und Y(u, v), also auch
20) Vgl. z. B. Mangoldt-Knopp, Bd. 2, S. 384, Satz 1.
21) Vgl. G. Kowalewski, a. in 8) a. 0., S. 137—139. Wir haben uns hier
nur davon zu überzeugen, daß der dort durchgeführte Beweis richtig bleibt,
wenn lediglich die Existenz, nicht auch die Stetigkeit der partiellen Ab-
leitungen vorausgesetzt ist.
M. Müller : RiEMANN’sches Integral
net sein; die Formeln (29) sollen also eine eindeutige, stetige
und eindeutig umkehrbare Abbildung von 21 auf 23 vermitteln.
2. Wir stellen zunächst einige Tatsachen zusammen, von
denen wir im Folgenden Gebrauch machen.
Hilfssatz 2. Ist 21 eine abgeschlossene und beschränkte
Punktmenge, so ist auch die Bildmenge 23 abgeschlossen und
beschränkt20).
Hilfssatz 3. Besteht 21 aus inneren Punkten, existieren in
21 die partiellen Ableitungen Xu, Xv, Yu, Yv und ist die Funk-
tionaldeterminante
(30)
Xu (u, v) Xv (zz, u)
Yu (zz, zt) Yv (zz, v)
in 21 von Null verschieden, so besteht auch 23 aus inneren Punkten.
Beweis21): Ist Bo (x0, z/0) irgend ein Punkt aus 23, Ao (u^, v0)
der zugehörige Punkt von 21, so gibt es eine Kreisscheibe
(31) (zz —zz0)2 + (zz —y0)2^r2,
die nur Punkte von 21 enthält. Das Bild ihres Randes G ist nach
Hilfssatz 2 eine abgeschlossene Punktmenge der (x, z/)-Ebene,
die wegen der Eineindeutigkeit der Abbildung (29) vom Punkt Bo
einen positiven Abstand d hat. Wir wollen beweisen, daß alle
Punkte der Kreisscheibe
(32) (x — x0)2 + (z/ — z/0)2
zu 23 gehören, daß also Bo ein innerer Punkt von 23 ist. Dazu
wählen wir einen Punkt B' (x', z/z) beliebig aus der Kreisscheibe
(32) aus und bilden die Funktion
tu (zz, u) = [X (zz, v) — xz]2 4- [ Y (zz, zz) — z/z]2.
Dieselbe ist in der Kreisscheibe (31) stetig, besitzt also dort ein
Minimum, das an der Stelle A' (zzz, z/) angenommen werden möge.
Da der Abstand des Punktes B' vom Punkt £>0 höchstens
also kleiner als der Abstand des Punktes B' von G* ist, liegt A'
nicht auf G, sondern im Innern der Kreisscheibe (31). Dort exi-
stieren aber die Ableitungen von X(zz, v) und Y(u, v), also auch
20) Vgl. z. B. Mangoldt-Knopp, Bd. 2, S. 384, Satz 1.
21) Vgl. G. Kowalewski, a. in 8) a. 0., S. 137—139. Wir haben uns hier
nur davon zu überzeugen, daß der dort durchgeführte Beweis richtig bleibt,
wenn lediglich die Existenz, nicht auch die Stetigkeit der partiellen Ab-
leitungen vorausgesetzt ist.