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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0037
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen 37
diejenigen von iv(u, v); es müssen die notwendigen Bedingungen
für das Eintreten eines Extremums erfüllt sein:
z«w „') = 2 [X(u', «') - x'J Xu (uf, u') + 2 [F(zF, u') -y'] Yu (u', v') = O,
u)v (u', v') = 2[X (iir, u') — x'J Xv («', u') + 2 [ Y(iY, v') - y'] Yv (zzz, z/)=0.
Da nach Voraussetzung D (tzz, v') 0 ist, folgt aus diesen beiden
linearen Gleichungen, daß
x' = X (jY, v'), y' = Y(u', v'),
d. h. daß der Punkt Br der Bildpunkt des in der Kreisscheibe (31)
liegenden Punktes A' ist. Da B' ein beliebiger Punkt der Kreis-
scheibe (32) war, gehören also alle Punkte dieser Kreisscheibe
zum Bild der Kreisscheibe (31), d. h. zu 5g. W. z. b. w.
Der Nachweis der Tatsache, daß das Bild einer Menge von
inneren Punkten wiederum eine Menge von inneren Punkten ist,
ist die einzige Stelle dieses Paragraphen, wo von der Voraus-
setzung Gebrauch gemacht wird, daß D(u, «) =£ 0 sein soll. Man
kann diese Voraussetzung ganz entbehren, wenn man tiefer lie-
gende topologische Vorkenntnisse heranzieht. Es gilt nämlich
der folgende
Hilfssatz 4. Besteht 21 aus inneren Punkten, so besteht
auch 23 aus inneren Punkten.
Beweis: In 23 definieren wir die Funktionen U(x,y) und
V(x,z/) so, daß wir t7(x,z/) gleich der «-Koordinate, V(x,y)
gleich der «-Koordinate desjenigen Punktes (zz, «) setzen, dessen
Bild der Punkt (x, z/) ist. Es gilt also für durch die Formeln (29)
einander zugeordnete Punkte (zz, «) und (x, z/) die Beziehung
(33) u = U (x, z/), v — V (x, z/).
Wir wollen beweisen, daß die Funktionen U(x,y) und V(x, z/)
in SS stetig sind.
Es sei Bo ein beliebiger Punkt von 23, 40 der zugehörige
Punkt aus 21. Wir können einen beschränkten abgeschlossenen
Teilbereich 2I0 von 21, etwa eine Kreisscheibe, finden, der Ao im
Innern enthält. Das Bild von 2I0 ist eine aus unendlich vielen
verschiedenen Punkten bestehende, nach Hilfssatz 2 abgeschlos-
sene Punktmenge 23O. Wir zeigen zunächst, daß die Funktionen
U{x,if) und V(x,z/) in 23O im folgenden Sinn stetig sind22): Ist
B’ (xz, z/z) ein beliebiger Punkt von 23O,
22) Vgl. G. Kowalewski, a. in 8) a. 0., S. 139—140.
diejenigen von iv(u, v); es müssen die notwendigen Bedingungen
für das Eintreten eines Extremums erfüllt sein:
z«w „') = 2 [X(u', «') - x'J Xu (uf, u') + 2 [F(zF, u') -y'] Yu (u', v') = O,
u)v (u', v') = 2[X (iir, u') — x'J Xv («', u') + 2 [ Y(iY, v') - y'] Yv (zzz, z/)=0.
Da nach Voraussetzung D (tzz, v') 0 ist, folgt aus diesen beiden
linearen Gleichungen, daß
x' = X (jY, v'), y' = Y(u', v'),
d. h. daß der Punkt Br der Bildpunkt des in der Kreisscheibe (31)
liegenden Punktes A' ist. Da B' ein beliebiger Punkt der Kreis-
scheibe (32) war, gehören also alle Punkte dieser Kreisscheibe
zum Bild der Kreisscheibe (31), d. h. zu 5g. W. z. b. w.
Der Nachweis der Tatsache, daß das Bild einer Menge von
inneren Punkten wiederum eine Menge von inneren Punkten ist,
ist die einzige Stelle dieses Paragraphen, wo von der Voraus-
setzung Gebrauch gemacht wird, daß D(u, «) =£ 0 sein soll. Man
kann diese Voraussetzung ganz entbehren, wenn man tiefer lie-
gende topologische Vorkenntnisse heranzieht. Es gilt nämlich
der folgende
Hilfssatz 4. Besteht 21 aus inneren Punkten, so besteht
auch 23 aus inneren Punkten.
Beweis: In 23 definieren wir die Funktionen U(x,y) und
V(x,z/) so, daß wir t7(x,z/) gleich der «-Koordinate, V(x,y)
gleich der «-Koordinate desjenigen Punktes (zz, «) setzen, dessen
Bild der Punkt (x, z/) ist. Es gilt also für durch die Formeln (29)
einander zugeordnete Punkte (zz, «) und (x, z/) die Beziehung
(33) u = U (x, z/), v — V (x, z/).
Wir wollen beweisen, daß die Funktionen U(x,y) und V(x, z/)
in SS stetig sind.
Es sei Bo ein beliebiger Punkt von 23, 40 der zugehörige
Punkt aus 21. Wir können einen beschränkten abgeschlossenen
Teilbereich 2I0 von 21, etwa eine Kreisscheibe, finden, der Ao im
Innern enthält. Das Bild von 2I0 ist eine aus unendlich vielen
verschiedenen Punkten bestehende, nach Hilfssatz 2 abgeschlos-
sene Punktmenge 23O. Wir zeigen zunächst, daß die Funktionen
U{x,if) und V(x,z/) in 23O im folgenden Sinn stetig sind22): Ist
B’ (xz, z/z) ein beliebiger Punkt von 23O,
22) Vgl. G. Kowalewski, a. in 8) a. 0., S. 139—140.