Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: RiEMANN’sches Integral
(34) B{ (x1, z/x), B2 (x2 , z/2) > • • • > Bn (x«, yn), • ■ ■
irgend eine Folge untereinander verschiedener, in $50 gelegener
Punkte, die für n co gegen B' konvergiert, so ist
(35) lim U (xn, yn) = U(x', z/'), lim V(xn, yn) = V(x', y').
n —>oo n —*co
Wir setzen
(36) u' = U(x',y'), v' = V(x',y'),
(37) zz„= D(x„, z/„), un=V(xn,yn), (/? = 1,2, ...).
Die unendlich vielen verschiedenen Punkte

(38) Ar , A, (u2, y2), ..., An (un, un),
liegen in dem beschränkten und abgeschlossenen Bereich 2l0,
haben also in 2I0 mindestens einen Häufungspunkt. Ein solcher
Häufungspunkt sei A*(u*, u*). Dann gibt es eine Teilfolge Al7l,
An.-,, ..., Anv, ... der Punktfolge (38), die für gegen A*
konvergiert. Da die Funktionen X(u, u), Y(u, u) in 2I0 stetig sind,
ist einerseits
lim xn,v = lim X (unv, unJ = X (u*, v*),
v —► 00 v —► 00
lim z/,Zl, = lim Y (uHv, vn) = Y (u*, u*).

Andererseits ist die Punktfolge Bni, Bn2, ..., Bnp, ... eine Teilfolge
der Folge (34); daher ist
lim Xnv= lim xn = x', lim ynv = Ihn yn=y',
V —*• 00 W —> 00 V —> oo n —>■ 00
mithin
(39) X (u*, u*) = x', Y (zz*, v*) = y'.
Aus (39) und (36) folgt, weil die Abbildung (29) in 2I0 einein-
deutig ist, daß
u* = U(x',y') = u', u*=V(x',y') = u'.
Hiernach hat die Punktfolge (38) in 2l0 nur einen einzigen Häu-
fungspunkt, nämlich den Punkt (zz', z/); nach (37) und (36) ist also
lim U (xn, yn) = üm un = u' — U (xf, y'),
n —>-oo n —> oo
lim V (xn, y„) = lim vn = u' = V (x', y'),
n —► oo n —> oo
d. h. es gelten die Beziehungen (35). Die Funktionen U(x, y) und
V(x,y) sind in 93O stetig.
Es steht jetzt fest, daß di-e durch die Formeln (29) vermittelte