DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0041
41
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
schlossenen und beschränkten Bereich 21' stetig, also beschränkt
sind, ist auch 25 beschränkt. Alle Randpunkte von 25 liegen also
im Endlichen. Es sei (jc* , z/*) ein Randpunkt von 25. Nach
Hilfssatz 4 oder auch nach Hilfssatz 3, wenn dessen weiter-
gehende Voraussetzungen erfüllt sind, besteht 25 aus inneren
Punkten. Wir können also eine Folge in 25 liegender Punkte
ßi (xx, z/J, B., (x2, z/2), ..., Bn (xn, z/„), .. . finden, die für n -+ co
gegen ^konvergiert. Die zugehörigen Originalpunkte Aj (zzt, ut),
A2 (u2, v2), ..., An (iin, un), ... liegen in 21 und haben in 21' min-
destens einen Häufungspunkt. Es sei Ao (zz0, u0) ein solcher Häu-
fungspunkt; die Teilfolge Ani, A„2, ..., Anv, ... konvergiere gegen
Ao. Dann ist, weil die Funktionen X(u,v) und Y(u,v) in 21'
stetig sind, einerseits
lim X {unv, vn) = X (zz0, zz0), hm Y (uUv, un) = Y (uQ, zj0) ,
v —> 00 v —► 00
andererseits
lim X(uUv, vn) = lim xnv = x*, lim V(zznv, yn„) = lim y„v = y*,
v —> 00 v —> 00 v —► oo v —> 00
also
x* = X (u0, u0), y*=Y (zz0, u0),
d. h. B* ist das Bild eines Punktes Ao von 21'. Dieser Punkt Ao
liegt auf 9J, weil den Punkten von 21 nach Hilfssatz 4, bzw.
Hilfssatz 3, wenn dessen weitergehende Voraussetzungen erfüllt
sind, nicht Randpunkte, sondern innere Punkte von 25 entsprechen.
Hiernach ist jeder Randpunkt von 25 in der Bildmenge von 91
enthalten.
Der Nachweis, daß die Bildmenge von 9t den JORDAN’schen
Inhalt Null hat, kann folgendermaßen erbracht werden: Nach Vor-
aussetzung a) kann man zu jeder positiven Zahl e eine endliche
Anzahl achsenparalleler Quadrate
Q,«: ciu <::'A ii 'A aLI -j_ <3, < zj -j- ö (^=1,2,..., rri)
finden, die keine inneren Punkte untereinander gemeinsam
haben, deren Diagonale |2 ö<Zd ist, deren Vereinigungsmenge
Q = Qi + • • ■ + Qm die Punktmenge 9v überdeckt und einen JOR-
DAN’schen Inhalt
m
hat. Sind (zz', zF) und (zz", u") irgend zwei Punkte des Durch-
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
schlossenen und beschränkten Bereich 21' stetig, also beschränkt
sind, ist auch 25 beschränkt. Alle Randpunkte von 25 liegen also
im Endlichen. Es sei (jc* , z/*) ein Randpunkt von 25. Nach
Hilfssatz 4 oder auch nach Hilfssatz 3, wenn dessen weiter-
gehende Voraussetzungen erfüllt sind, besteht 25 aus inneren
Punkten. Wir können also eine Folge in 25 liegender Punkte
ßi (xx, z/J, B., (x2, z/2), ..., Bn (xn, z/„), .. . finden, die für n -+ co
gegen ^konvergiert. Die zugehörigen Originalpunkte Aj (zzt, ut),
A2 (u2, v2), ..., An (iin, un), ... liegen in 21 und haben in 21' min-
destens einen Häufungspunkt. Es sei Ao (zz0, u0) ein solcher Häu-
fungspunkt; die Teilfolge Ani, A„2, ..., Anv, ... konvergiere gegen
Ao. Dann ist, weil die Funktionen X(u,v) und Y(u,v) in 21'
stetig sind, einerseits
lim X {unv, vn) = X (zz0, zz0), hm Y (uUv, un) = Y (uQ, zj0) ,
v —> 00 v —► 00
andererseits
lim X(uUv, vn) = lim xnv = x*, lim V(zznv, yn„) = lim y„v = y*,
v —> 00 v —> 00 v —► oo v —> 00
also
x* = X (u0, u0), y*=Y (zz0, u0),
d. h. B* ist das Bild eines Punktes Ao von 21'. Dieser Punkt Ao
liegt auf 9J, weil den Punkten von 21 nach Hilfssatz 4, bzw.
Hilfssatz 3, wenn dessen weitergehende Voraussetzungen erfüllt
sind, nicht Randpunkte, sondern innere Punkte von 25 entsprechen.
Hiernach ist jeder Randpunkt von 25 in der Bildmenge von 91
enthalten.
Der Nachweis, daß die Bildmenge von 9t den JORDAN’schen
Inhalt Null hat, kann folgendermaßen erbracht werden: Nach Vor-
aussetzung a) kann man zu jeder positiven Zahl e eine endliche
Anzahl achsenparalleler Quadrate
Q,«: ciu <::'A ii 'A aLI -j_ <3, < zj -j- ö (^=1,2,..., rri)
finden, die keine inneren Punkte untereinander gemeinsam
haben, deren Diagonale |2 ö<Zd ist, deren Vereinigungsmenge
Q = Qi + • • ■ + Qm die Punktmenge 9v überdeckt und einen JOR-
DAN’schen Inhalt
m
hat. Sind (zz', zF) und (zz", u") irgend zwei Punkte des Durch-