DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0042
42
M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Schnittes • qM, so ist nach Voraussetzung ö), weil der Abstand
dieser beiden Punkte kleiner als d ist,
X(u', u') — X(u", u")\^L
Y(u', u')—Y(u", u")\^L
zz' —zz"| + |z/ —z/'| ^2Lö,
u' — u" | + | v' — u"\ JJZLö;
die Bildpunkte der Punkte von 9^ • q.(( liegen also in einem Quadrat
q*((, dessen Inhalt
<,0 = 4Ä^ = 4D<)
ist. Folglich läßt sich die Bildmenge von SR überdecken mit m
Quadraten q*j, ..., q*,„, deren Vereinigungsmenge q* einen Inhalt
m m
Aq*) S Aq*O = 4 z.2 2 ■'(<O<£
/X = 1 fl=l
hat; da e beliebig nahe bei 0 gewählt werden darf, hat sie also
den JORDAN’schen Inhalt Null. W. z. b. w.
Wir bemerken noch, daß die Bedingung ü) gewiß erfüllt ist,
wenn in einer cf-Umgebung von 9v die Funktionen X (zz, v) und
V(zz,u) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen;
wählt man nämlich d<Jd', so haben die absoluten Beträge dieser
Ableitungen in der (/-Umgebung von eine Schranke L, und
aus der Formel des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
folgen sofort die in ö) angegebenen Ungleichungen (40).
4. In vielen Einzelfällen wird man sich von der Existenz des
JORDAN’schen Inhaltes J (53) der Bildmenge 53 überzeugen können,
ohne die in Satz 5 angegebenen Bedingungen heranziehen zu
müssen. Steht die Existenz von J(53) fest, so gibt über die Dar-
stellung von V(53) mittels der Abbildungsfunktionen X(zz, u) und
Y (zz, z?) folgender Satz Auskunft:
Satz 6. 21 sei eine beschränkte Menge innerer Punkte in der
(zz, u)-Ebene und besitze einen Jordan’schen Inhalt. Die Funk-
tionen X(u, u) und Y(u, zz) sollen in 21 stetig sein und beschränkte
partielle Ableitungen erster Ordnung Xu, Xv, Yu, Yu haben, die
über 21 integrierbar sind. Durch die Formeln
x = X(u, u), y= Y(u, v)
soll 21 eindeutig und eindeutig umkehrbar auf einen Bereich 53
der (x, y)-Ebene abgebildet werden, der einen Jordan sehen In-
halt J(53) besitzt.
M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Schnittes • qM, so ist nach Voraussetzung ö), weil der Abstand
dieser beiden Punkte kleiner als d ist,
X(u', u') — X(u", u")\^L
Y(u', u')—Y(u", u")\^L
zz' —zz"| + |z/ —z/'| ^2Lö,
u' — u" | + | v' — u"\ JJZLö;
die Bildpunkte der Punkte von 9^ • q.(( liegen also in einem Quadrat
q*((, dessen Inhalt
<,0 = 4Ä^ = 4D<)
ist. Folglich läßt sich die Bildmenge von SR überdecken mit m
Quadraten q*j, ..., q*,„, deren Vereinigungsmenge q* einen Inhalt
m m
Aq*) S Aq*O = 4 z.2 2 ■'(<O<£
/X = 1 fl=l
hat; da e beliebig nahe bei 0 gewählt werden darf, hat sie also
den JORDAN’schen Inhalt Null. W. z. b. w.
Wir bemerken noch, daß die Bedingung ü) gewiß erfüllt ist,
wenn in einer cf-Umgebung von 9v die Funktionen X (zz, v) und
V(zz,u) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen;
wählt man nämlich d<Jd', so haben die absoluten Beträge dieser
Ableitungen in der (/-Umgebung von eine Schranke L, und
aus der Formel des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
folgen sofort die in ö) angegebenen Ungleichungen (40).
4. In vielen Einzelfällen wird man sich von der Existenz des
JORDAN’schen Inhaltes J (53) der Bildmenge 53 überzeugen können,
ohne die in Satz 5 angegebenen Bedingungen heranziehen zu
müssen. Steht die Existenz von J(53) fest, so gibt über die Dar-
stellung von V(53) mittels der Abbildungsfunktionen X(zz, u) und
Y (zz, z?) folgender Satz Auskunft:
Satz 6. 21 sei eine beschränkte Menge innerer Punkte in der
(zz, u)-Ebene und besitze einen Jordan’schen Inhalt. Die Funk-
tionen X(u, u) und Y(u, zz) sollen in 21 stetig sein und beschränkte
partielle Ableitungen erster Ordnung Xu, Xv, Yu, Yu haben, die
über 21 integrierbar sind. Durch die Formeln
x = X(u, u), y= Y(u, v)
soll 21 eindeutig und eindeutig umkehrbar auf einen Bereich 53
der (x, y)-Ebene abgebildet werden, der einen Jordan sehen In-
halt J(53) besitzt.