Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: RiEMANN’sches Integral

Ist (cz, ö) der linke untere Eckpunkt des Quadrates qz, so
kann die JoRDANkurve Xz mittels eines im Intervall 0 4/44
laufenden Parameters t in der Form

(52)


X (cz tq, b)
X(ci-\-q, b + (t — l)q)
X (a 4" (3 — /) Q, 5 4- q)
X(ci, b-\-(4—t) c/)

y = y{t')=

Y (cz -4 tq, b)
Y(a+q,b + (t—Y)q)
Y(a + (3—t}q, b + q)
Y(ci, 6 4- (4 — Q q)

für 0 4 t<? 1,
für 14/42,
für 2XtX 3,
für 3 4 /4 4,
für 0 4/41,
für 1 4 / 4 2,
für 2 4/43,
für 3 4/44

dargestellt werden, wobei wachsenden Werten des Parameters
/ eine Durchlaufung von Xz im ausgezeichneten Durchlaufungssinn
entspricht. Nach (48) und (52) ist in jedem der vier Teilintervalle
(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)
x' (f) | < Z, </, | y' (t) | < L q.
Die Teilbögen der Kurve Xz, die diesen Teilintervallen entsprechen,
haben also eine endliche Länge, die höchstens gleich | 2 L q ist
(vgl. § 4, 1); Xz selbst hat eine endliche Bogenlänge, die höch-
stens gleich 4 | 2 L q ist. Nach §7,1 existieren also die Zahlen
J (üz) und F(Xz); nach Satz 3 ist
J(öz) = |F(Xz)|.
Der Bereich t> ist die Vereinigungsmenge der meßbaren Be-
reiche , ..., 6/, von denen wegen der Eineindeutigkeit der Ab-
bildung (29) je zwei keine inneren Punkte gemeinsam haben.
Es existiert also auch J (ü), und es ist
-/(»)= E </(»;)•
Z = 1
Insbesondere ist damit festgestellt, daß dem Bereich q die Eigen-
schaft 7) zukommt.
9. Wir werden jetzt beweisen, daß
(53) F(xz) = I D(u,v)dci,
also
(54) J(üz) = / D(u,v)da ,
‘iz