Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: RiEMANN’sches Intgral

Denn zerlegt man in dieser Doppelsumme jeden Summanden
gemäß der Formel
Q(5 , Eq + 1,0, Eq + 1 , 0+1 , Eq , j J_ ])
== E (Q, Ega , Ecj-If-I t ö) ~j~ E (O , £"p + l, a, Eq-^1 t 0+1)
E (O, Eq-\-1 , ©+1 , Eq, CT-|-1) F (O , Eq, o+l , EQa) ,
so treten in der entstehenden Summe von 4 V2 Summanden die
Inhalte derjenigen Dreiecke, bei denen die O gegenüberliegende
Seite nicht Bestandteil des Sehnenzuges (57) ist, genau zweimal
und zwar mit entgegengesetztem Vorzeichen auf; sie fallen also
aus der Summe heraus, und es bleibt gerade der Ausdruck (58)
für Fk stehen.
Nun ist

F(EQn

Eq-\- 1 , o , Ey + l , a-|_ 1 , Eq, o—1_ 1)

1 Xpo Uqo
1
1 Xq + 1 , 0+1
^/c+i, 0+1
1 OCp-4-1, o Z/p + l,o
+ |
1 Xp, o + l
0+1
1 Xe + 1,©+1 Z/p + 1,0+1
1 Xpo
Z/oo
Xp + l,o Xpo
y o+1,
o y^o
Xp + 1 , 0+1 +1,0
yq+i >
0+1 Z/(? + l, 0
Xq + 1, 0+1 Xq ,0+1
z/p+i,
0+1 y@ ,0+1
Xp,o+1 Xqo
lf, 0+1 ^/{?0

Trägt man hier die sich aus (56) ergebenden Werte für die Koor-
dinaten ein, so kann man auf die Koordinatendifferenzen den

Mittelwertsatz der Differentialrechnung für Funktionen einer
Veränderlichen anwenden, dessen Voraussetzungen erfüllt sind.

Summiert man außerdem über q und o, so ergibt sich

k—i k—i


V F(£<,„, £+1,
0 = 0

1
2

s

k—1
s
0 = 0

X,(zZp + +1J h, v0)
Xv(u6+i, + /?)

v„ (zze + h, uQ)
Yk^Uq + I, ^0+ +0

h2


Vu(zZe + ^^/Z, Z++l)j
/7
W(mp, + *+ /?)

wobei -+, ..., gewisse zwischen 0 und 1 gelegene Zahlen
sind, die Stellen, an denen die partiellen Ableitungen gebildet
werden, also im Quadrat