Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen

49


Die Funktionaldeterminante
Xu Yu
Xv Yv

ist als Funktion ihrer vier Elemente im Quader
| Xu | <L, | Xv | <L, | Ya | <L, | Yv | < L
beschränkt und gleichmäßig stetig, und in diesem Quader liegen
die Wertequadrupel, die das Funktionensystem

Xu (u, v), Xu (u, v), Yu (zz, u), Yv (u, u)

annimmt, wenn der Punkt (zz, u) in qz variiert. Auch die übrigen
Voraussetzungen von Satz 2 sind erfüllt. Insbesondere ist qz in
die k2 kongruenten Quadrate (60) zerlegt, deren Durchmesser mit
wachsendem k gegen Null strebt. Nach dem zweiten Teil dieses
Satzes konvergiert also jede der beiden Doppelsummen, aus
denen F/v- zusammengesetzt ist, gegen


falls Zf—>co, d. h. h—>0 wandert. Es ergibt sich also, daß


F(rQ= lim Fk = / D(u,u)da,

d. h. die Gültigkeit der Formel (53).
10. Der Übergang von der Formel (54) zur Formel (55) ge-
lingt schließlich folgendermaßen:
Bei der Herleitung der Formel (53) haben wir lediglich von
der Tatsache Gebrauch gemacht, daß das abgeschlossene Quadrat
qz in 21 liegt. Zerlegen wir qz in n kongruente Teilquadrate
(v = 1, 2, ..., n; z? Quadratzahl), so gilt für jedes eine zu (54)
analoge Formel, nämlich, wenn 2Ü das Bild von CX bezeichnet,

J (23Q = | / D (u, v) dci
Daher ist mit Rücksicht auf (54)

(<- = l, 2, .... n).