Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller : RiEMANN’sches Integral

Keiner der Summanden rechterhand ist gleich Null, weil jedes
93h ein Gebiet, also stets J (93,,) 3> 0 ist. Der absolute Betrag
einer Summe ist aber nur dann gleich der Summe der absoluten
Beträge der einzelnen Summanden, wenn alle Summanden das-
selbe Vorzeichen haben. Setzen wir für ?>=1, 2, ..., n
/ D(u, v) da = /^v J (£U),
wobei ein Mittelwert ist zwischen der unteren und der oberen
Grenze von D(u, v) in , so haben hiernach alle Mittelwerte
^, ..., dasselbe Vorzeichen. Es ist also

(61)

rt
J (M = I I D(11’ dcl
”=i4.

n
2 /4VJ (OQ
V = 1

n n
dz \ I IJ | = S II ;
i>=i -i’ = i

wie wir in Nr. 11 darlegen werden, ist die letzte Summe aber
D (u, v) da .
Damit ist dann die Formel (55) bewiesen.

11. Für den noch fehlenden Nachweis, daß
7?
(62) | f^.v I J(£b) = j \ D (zz, zz) | da,
''= 1 h
bezeichnen wir die untere Grenze von D (zz, u) im Quadrat
mit gv, die obere Grenze mit Gv. Ist (zz,,, zz,.) irgend ein Punkt
von £b, so gelten die Ungleichungen

Z/p Z>. [A-v Gv , ffv D (llv, ZJp) Gv ,

| | /^v | | D (zz,,, zzQ | | | D (zz,,, zjp) | ((V Gv
n n n
D(lh, p,)|</(£U) | < (G,.-<7,.) J(O,).
V = 1 V = 1 v — 1
Die auf der rechten Seite stehende Summe konvergiert gegen 0,
wenn zz-^oo strebt, weil dann der Durchmesser der Quadrate
gegen 0 strebt und D (zz, zz) über das Quadrat (R. integrierbar ist.
Da ferner bei diesem Grenzübergang
n
| D(zzp, zzr) p(£U)-> I D(u,v) da
"= 1 ü

(63)