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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0051
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zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
konvergiert, gilt dasselbe von der auf der linken Seite von (62)
stehenden Summe; weil dieselbe aber nach (61) für alle Quadrat-
zahlen n gleich der von n unabhängigen Zahl J (w) ist, gilt die
Beziehung (62) für alle Quadratzahlen n, wie noch zu beweisen
war 2G).
Damit ist der Beweis des Satzes 6 beendet.
12. Wir ziehen jetzt aus Satz 6 einige Folgerungen. Zunächst
die folgende:
Gelten die Voraussetzungen von Satz 6 und ist 21* eine meß-
bare, aus inneren Punkten bestehende Teilmenge von 21, so ist
auch deren Bild 53* eine meßbare Teilmenge von 53 mit dem
Jordctnschen Inhalt
(64) J (53*) = J | D (u, v) | da.
Es ist nur zu zeigen, daß 23* meßbar ist; denn steht diese
Tatsache fest, so ergibt die Anwendung des Satzes 6 auf 21*
sofort die Formel (64).
Wir bezeichnen den Rand von 2t* mit 9^ und nehmen zu-
nächst an, daß die abgeschlossene Hülle 21* -j- 9^* von 21* ganz
in 21 liegt. Sie hat dann vom Rand ER des Bereiches 21 einen
positiven Abstand d. Sind P' (u', v') und P" (u", v") zwei Punkte
von ER*, deren Abstand kleiner als d ist, so liegen in der in 21
enthaltenen Kreisscheibe
(u —ü,)* 2 + (ü —y')2<d2
die Punkte P', P" und P"' (u", v') und damit die Strecken P' P"'
und P" P". Da in 21 die Ungleichungen (48) gelten, folgt aus
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung für Funktionen einer
Veränderlichen, daß
(65) | X (u', v') — X (u", v")
\X(u', v') — X(u", v') | + X(u", v') - X(u", v") |
L[\u' — u"\ + \v'— u"|],
2Ö) Wir hätten uns, statt den Nachweis der Beziehung (62) unmittelbar
zu erbringen, auch auf eine leichte Ve ra 11 g e m e i n e r u n g des Satzes
2 berufen können. Zunächst erkennt man nämlich bei einer Überprüfung
des Beweises der Formel (3), daß diese Formel richtig bleibt, wenn man
einzelne oder alle Funktionswerte xv (rve) allgemeiner durch Zahlen
ersetzt, welche zwischen der unteren und der oberen Grenze der betref-
fenden Funktion xv(t) im Teilintervall <7e, Q+i) liegen. Ebenso kann man
die letzte Formel des Satzes 2 dadurch verallgemeinern, daß man jeden
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
konvergiert, gilt dasselbe von der auf der linken Seite von (62)
stehenden Summe; weil dieselbe aber nach (61) für alle Quadrat-
zahlen n gleich der von n unabhängigen Zahl J (w) ist, gilt die
Beziehung (62) für alle Quadratzahlen n, wie noch zu beweisen
war 2G).
Damit ist der Beweis des Satzes 6 beendet.
12. Wir ziehen jetzt aus Satz 6 einige Folgerungen. Zunächst
die folgende:
Gelten die Voraussetzungen von Satz 6 und ist 21* eine meß-
bare, aus inneren Punkten bestehende Teilmenge von 21, so ist
auch deren Bild 53* eine meßbare Teilmenge von 53 mit dem
Jordctnschen Inhalt
(64) J (53*) = J | D (u, v) | da.
Es ist nur zu zeigen, daß 23* meßbar ist; denn steht diese
Tatsache fest, so ergibt die Anwendung des Satzes 6 auf 21*
sofort die Formel (64).
Wir bezeichnen den Rand von 2t* mit 9^ und nehmen zu-
nächst an, daß die abgeschlossene Hülle 21* -j- 9^* von 21* ganz
in 21 liegt. Sie hat dann vom Rand ER des Bereiches 21 einen
positiven Abstand d. Sind P' (u', v') und P" (u", v") zwei Punkte
von ER*, deren Abstand kleiner als d ist, so liegen in der in 21
enthaltenen Kreisscheibe
(u —ü,)* 2 + (ü —y')2<d2
die Punkte P', P" und P"' (u", v') und damit die Strecken P' P"'
und P" P". Da in 21 die Ungleichungen (48) gelten, folgt aus
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung für Funktionen einer
Veränderlichen, daß
(65) | X (u', v') — X (u", v")
\X(u', v') — X(u", v') | + X(u", v') - X(u", v") |
L[\u' — u"\ + \v'— u"|],
2Ö) Wir hätten uns, statt den Nachweis der Beziehung (62) unmittelbar
zu erbringen, auch auf eine leichte Ve ra 11 g e m e i n e r u n g des Satzes
2 berufen können. Zunächst erkennt man nämlich bei einer Überprüfung
des Beweises der Formel (3), daß diese Formel richtig bleibt, wenn man
einzelne oder alle Funktionswerte xv (rve) allgemeiner durch Zahlen
ersetzt, welche zwischen der unteren und der oberen Grenze der betref-
fenden Funktion xv(t) im Teilintervall <7e, Q+i) liegen. Ebenso kann man
die letzte Formel des Satzes 2 dadurch verallgemeinern, daß man jeden