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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0052
52
M. Müller: RiEMANN’sches Integral
und eine ebensolche Ungleichung für die Funktion Y. Hiernach
gelten für 21* die Voraussetzungen des Satzes 5; nach diesem
Satz ist also 25* meßbar.
Den Fall, daß 24* --1— SR* nicht ganz in 21 liegt, kann man nun-
mehr folgendermaßen behandeln: Ist e irgend eine positive Zahl,
so konstruieren wir wie in Nr. 5 die Punktmenge q und zerlegen
21* in die beiden Teilmengen 2lx = q • 21* und 2X2 = (21—q)-2l*.
Da q und 21* meßbar sind, ist auch 2lx meßbar* * * * 27); da 2lt in q
liegt, gehört auch die abgeschlossene Hülle von 2lt zu 21; nach
dem soeben erledigten Sonderfall ist also das Bild 23x von 2Q
meßbar. Daher kann man den Rand von 23x überdecken mit
einer aus achsenparallelen Quadraten aufgebauten Punktmenge
9)1, deren Jordanscher Inhalt J (991)< ist. Das Bild 232 von
2I2 liegt in der Punktmenge 23 — b; insbesondere läßt sich also
der Rand von 232 überdecken mit der Punktmenge 23 — b, deren
Inhalt nach (47) kleiner als ist. Nun gehört jeder Punkt von 23*
entweder zu 23x oder zu 232; jeder Randpunkt von 23* ist ent-
weder Randpunkt von 23t oder Randpunkt von 232 oder gemein-
schaftlicher Randpunkt von 23x und 232. Daher wird der Rand
von 23* überdeckt von der Punktmenge 9)1-j-(23—b), deren In-
halt kleiner als £ ist. Da £ hierbei beliebig nahe bei 0 gewählt
werden kann, hat der Rand von 23* den Inhalt 0, besitzt also
23* einen JoRDANschen Inhalt J(23*). W. z. b. w.
13. Unter den Voraussetzungen des Satzes 6 kann D(ii, v) in
keinem Teilgebiet von 21 identisch gleich Null sein 28).
Funktionswert (d1^, ..., rVI) durch eine Zahl ersetzt, welche zwi¬
schen der unteren und der oberen Grenze der Funktion Xv(^i, . . . , tp) im
Teilbereich U liegt. Wendet man die so verallgemeinerte Formel des
Satzes 2 auf die Funktion F (D) = | D | an, so ergibt sich die Beziehung (63).
27) Vgl. etwa Mangoldt-Knopp, Bd. 3, S. 194.
28) Daß sogar D (u, zz) =^= 0 sein müßte, wie man gar nicht so selten
lesen und sogar „bewiesen“ finden kann, ist nicht wahr, wie das folgende ein-
fache Beispiel zeigt: Haben die Funktionen f (f) und g (f) im Intervall
Ableitungen, die nur an einzelnen Stellen verschwinden und
sonst positiv sind, so vermitteln die Formeln
x = X (zz, p) = f (zz), y = Y (u, v) = g (zz)
eine eineindeutige u. stetige Abbildung des Quadrates 0 5S zz 5^ 1>
auf ein Rechteck der (x, z/)-Ebene, obgleich die Funktionaldeterminante
D (u, v) = f'(u)g'{v)
längs ganzen zu den Koordinatenachsen parallelen Sekanten des Quadrates
verschwindet.
M. Müller: RiEMANN’sches Integral
und eine ebensolche Ungleichung für die Funktion Y. Hiernach
gelten für 21* die Voraussetzungen des Satzes 5; nach diesem
Satz ist also 25* meßbar.
Den Fall, daß 24* --1— SR* nicht ganz in 21 liegt, kann man nun-
mehr folgendermaßen behandeln: Ist e irgend eine positive Zahl,
so konstruieren wir wie in Nr. 5 die Punktmenge q und zerlegen
21* in die beiden Teilmengen 2lx = q • 21* und 2X2 = (21—q)-2l*.
Da q und 21* meßbar sind, ist auch 2lx meßbar* * * * 27); da 2lt in q
liegt, gehört auch die abgeschlossene Hülle von 2lt zu 21; nach
dem soeben erledigten Sonderfall ist also das Bild 23x von 2Q
meßbar. Daher kann man den Rand von 23x überdecken mit
einer aus achsenparallelen Quadraten aufgebauten Punktmenge
9)1, deren Jordanscher Inhalt J (991)< ist. Das Bild 232 von
2I2 liegt in der Punktmenge 23 — b; insbesondere läßt sich also
der Rand von 232 überdecken mit der Punktmenge 23 — b, deren
Inhalt nach (47) kleiner als ist. Nun gehört jeder Punkt von 23*
entweder zu 23x oder zu 232; jeder Randpunkt von 23* ist ent-
weder Randpunkt von 23t oder Randpunkt von 232 oder gemein-
schaftlicher Randpunkt von 23x und 232. Daher wird der Rand
von 23* überdeckt von der Punktmenge 9)1-j-(23—b), deren In-
halt kleiner als £ ist. Da £ hierbei beliebig nahe bei 0 gewählt
werden kann, hat der Rand von 23* den Inhalt 0, besitzt also
23* einen JoRDANschen Inhalt J(23*). W. z. b. w.
13. Unter den Voraussetzungen des Satzes 6 kann D(ii, v) in
keinem Teilgebiet von 21 identisch gleich Null sein 28).
Funktionswert (d1^, ..., rVI) durch eine Zahl ersetzt, welche zwi¬
schen der unteren und der oberen Grenze der Funktion Xv(^i, . . . , tp) im
Teilbereich U liegt. Wendet man die so verallgemeinerte Formel des
Satzes 2 auf die Funktion F (D) = | D | an, so ergibt sich die Beziehung (63).
27) Vgl. etwa Mangoldt-Knopp, Bd. 3, S. 194.
28) Daß sogar D (u, zz) =^= 0 sein müßte, wie man gar nicht so selten
lesen und sogar „bewiesen“ finden kann, ist nicht wahr, wie das folgende ein-
fache Beispiel zeigt: Haben die Funktionen f (f) und g (f) im Intervall
Ableitungen, die nur an einzelnen Stellen verschwinden und
sonst positiv sind, so vermitteln die Formeln
x = X (zz, p) = f (zz), y = Y (u, v) = g (zz)
eine eineindeutige u. stetige Abbildung des Quadrates 0 5S zz 5^ 1>
auf ein Rechteck der (x, z/)-Ebene, obgleich die Funktionaldeterminante
D (u, v) = f'(u)g'{v)
längs ganzen zu den Koordinatenachsen parallelen Sekanten des Quadrates
verschwindet.