Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen

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Andernfalls wäre nämlich auch in einer diesem Teilgebiet an-
gehörenden Kreisscheibe 51* die Funktionaldeterminante £>(zz,zz)
gleich 0, also nach (64) auch J(53*) = O im Widerspruch zu der
Tatsache, daß $3* innere Punkte besitzt, also J(53*) > 0 sein muß.
§ 9. Die Transformation der Flächenintegrale.
Satz 7. Tritt zu den Voraussetzungen des Satzes 6 die wei-
tere, daß die Funktion über den Bereich 55 integrierbar ist,
so ist die Funktion
F(u, v) = f(X(u, v), Y(u, zz)) D (u, v)
auch über den Bereich 51 integrierbar, und es gilt die Formel
(66) I f(x,y)db = [ f(X(u,v), Y(u,u)) D(u,v) da.
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1. Wir beweisen zunächst, daß F(zz, zz) über 51 integrierbar
ist29).
Es sei
3- 51 = 5lt 51-2 .51;-
eine Zerlegung des Bereiches 51 in r meßbare Teilbereiche, all-
gemein d(ßffV) der Durchmesser der Punktmenge SIR,
4(3) = Max rf(5lp);
ß = l, ...,r
53o das Bild von 5lp bei der Abbildung (29), mQ diejenige Zahl,
die durch die nach § 8, 12 geltende Formel
(67) J (53P) == f D (zz, v) da = J (5I<>)
*z>
für (> = 1,2, ..., r definiert ist. Bedeutet gQ die untere Grenze,
o-p die Schwankung von D(zz, zz) in 5G, so ist also
9q ' < g8 + (so = l, 2, ...,/’).
Ferner sei S positiv und eine Schranke für /(v, z/) in 53p, d. h.
für den absoluten Betrag von
0(zz, zz) = / (X (zz, zz), K(zz, zz))
29) Wenn f(x, y) in 23 stetig ist, folgt die Integrierbarkeit von F(zz, zz)
aus Satz 2 und die Richtigkeit der Formel (66) aus der in 26) angegebenen
Verallgemeinerung des zweiten Teiles des Satzes 2. — Wenn die Funk-
tionen AC (zz, zz) und F(zz, zz) in der abgeschlossenen Hülle 21' von 21 stetig
sind, führt die bei Mangoldt-Knopp, Bd. 3, S. 355 — 356 angegebene Schluß-
weise rascher zum Ziel.