Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: RiEMANN’sches Integral
in 2l9, Oq die Schwankung von f(x,y) in 58p, also auch die
Schwankung von $(u, F) in 2le. Schließlich bedeute 07/' die
Schwankung von F(u, F) in 2le.
Für irgend zwei Stellen (u, u) und (u', z/) von 21«, ist
F(u, F) — F(u', z/) = 0 (zz, F) D(u, F)\ — $ (F, F) D (F, F) \
= Q>(u,F) [ D(u,F)\— \D(u',F)\]-}-\D(F,F) | [$(zz,zz)— $(zz',z/)],
also
| F(zz, u) — F(F, F)\FSgq+\D (zz', F) | ■ ae
= S ae + [ | D (F, F) | — m8] Ge' + Wp <F
S Gq -j“ Gq • Ge 4~ °q
3 S Gq 4~ °Q •
Daher ist auch
Gq F 3 S Gq 4“ ZZZp Gq
und mit Rücksicht auf die Formel (67)
r r r
(68) 2 V-/W23S y <W(2l«)+ S
Q = 1 9 = 1 9 = 1
Die positive Zahl e werde irgendwie vorgeschrieben. Dazu
gibt es, weil D(ii, zz) über 21 integrierbar ist, eine Zahl <5X(£),
sodaß
7’
(69)
9 = 1
wenn A (ß) < <5X (e); ferner, weil f(x,y) über 25 integrierbar ist,
eine Zahl <5*(e) derart, daß für jede Zerlegung des Bereiches 58
in endlich viele meßbare Teilbereiche, bei welcher der Durch-
messer jedes Teilbereiches kleiner als <5* (t) bleibt, die Summe
der Produkte aus der Schwankung von /(x, z/) im Teilbereich
und dem Inhalt des Teilbereiches kleiner als y ist; schließlich,
weil 58 meßbar ist, einen abgeschlossenen meßbaren Teilbereich
(S* von 58, für welchen
(70) J(23)-J(<^)<~;
das durch die Formeln (33) vermittelte Bild @ von (S* ist ein ab-
geschlossener Teilbereich von 2t; sein Abstand vom Rand des
Bereiches 21 sei e = e(f).
Wir wollen zeigen, daß
r
£ <J(2I„)<£,
9 = 1

(71)