Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller : RiEMANN’sches Integral

eine Zerlegung von 95 in endlich viele meßbare Teilbereiche, deren
Durchmesser kleiner als <5* (e) ist. Bezeichnet cr% die Schwankung
von f(x, y) in SN, so ist also bei unserer Bestimmung von ö^(t)
t
C?5) (S3e) L S2 J («•) + S J (®0 < f ■

Aus (68), (69), (72), (73) und (75) folgt nun, daß die Un-
gleichung (71) gilt, sobald d(ß)<jö(e) ist, d. h. daß die Funktion
F(zz, u) über 21 integrierbar ist.
2. Der Beweis der Formel (66) ist jetzt leicht: Wir benutzen
wieder eine Zerlegung ß, bei der d (ß) <C ö (e). Nach dem Mittel-
wertsatz der Integralrechnung gibt es einen Mittelwert Me derart,
daß
I f(x,y)db = MQJ(23p);
4
Mo liegt zwischen der unteren und der oberen Grenze von
f(x,y) in 23p. Es ist, wenn (u8, u8) irgend ein Punkt von 21p,
(x0, z/e) sein Bildpunkt in 23p ist,
r
j /(x, y) db = M8 J(23p)
58 e = 1


= (I} (uq , ue) m8 J (2tp) -j- f M8 f (x8, z/p) I J (23p)
e=i e=iL J
= S <l> (UQ ’ ue) i D > G-) i W + S 0 > u^> mQ ~ 5 D (UQ ’ ue) J
Q = 1 q = i L
p = i L J
also
I I f(x, y) db — I F(zz, u) da
58 Ql

r
2 = 1

Up) J(2lp) — / F(zz, u) da
QI

+ IS (u8, Up) zzzp — D (zzp, Up) | J (2lp)
2 = 1