Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

58 M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Diesen elementaren Charakter des Beweises sollte unsere auf
alle Einzelheiten eingehende, lehrbuchmäßige Darstellung beson-
ders hervortreten lassen. Ob sich der Leitgedanke unseres Be-
weises, wie es beim Rademacher sehen Beweis der Fall ist, auch
bei Raumintegralen durchführen läßt, ist freilich eine Frage, die
noch der Klärung bedarf, hier aber nicht mehr behandelt wer-
den soll.
4. Wir fügen noch eine kritische Betrachtung an. Der Beweis,
den C. Jordan für die Transformationsformel (66) gab 31), beruht
auf dem Leitgedanken, daß man die Abbildung (29) im Kleinen
durch eine affine Abbildung annähert32). Setzt man
X(zz, zz)=X(zz0, zz0) /Xu (zz0, zz0) (zz — zz0)+Xv (zz0, zz0) (zz — zz0)+rx (zz0, zz0, zz, zz),
y(ii tu) = y(LIq, y0)4- Ytl(zz0, zz0) (zz — zz0) + Yv(zz0,zz0) (y — zz0)+ r2(u0,u0,u,u),
so ist für die Durchführbarkeit dieses Gedankens ausreichend,
aber für die Jordansehe Beweisführung auch wesentlich, daß die
Korrektionsglieder i\(u0, zz0, zz, zz) und r2 (zz0, zz0, u, u) folgender
Bedingung genügen: Zu jeder positiven Zahl e gibt es ein ö(e)
derart, daß die Abschätzungen
j\ (zz0, zz0, zz, zz) I e • o-, | r2 (zz0, zz0, zz, zz) ■ e * a
gelten, sobald (zz — zz0)2-)- (z; — zz0)2 <= o2, wie auch o- im Intervall
00<<5(e) gewählt wird. Diese Bedingung ist dann und nur
dann erfüllt, wenn die Korrektionsglieder die Gestalt
i\ (u0, u0, u, u) = Ri (zz0, zz0, zz, zz) ]/(zz — zz0)2 + (zz — zz0)2,
r2 (zz0, zz0, zz, zz) = R2 (u0, zz0, zz, zz) /(zz — zz0)2 + (zz — zz0)2
haben, wobei
I I <1 £, ; R2 I <1 S, sobald / (zz— zzo)2-|-(zz — D0)2<iö(e)-
Man nennt eine Funktion g(u, u), die partielle Ableitungen erster
Ordnung besitzt und eine Darstellung
(76) g (u, zz) = g (ii0, zz0) + gu (u0, zz0) (zz — zz0) + gv (zz0, zz0) (zz - zz0)
+ R (zz0, zz0, zz, zz) /(zz — zz0)2 + (zz — zz0)2
zuläßt, in welcher
17?(zz0, zz0, zz, zz) | <1 £, sobald /(zz — zz0)2—/(zz— zz0)2<7 <5 (s),
31) Vgl. Mangoldt-Knopp, Bd. 3, S. 347-356, wo auch die JORDAN’sche
Arbeit genannt ist.
32) Auf Einzelheiten braucht hier nicht eingegangen zu werden.