Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen

total differentiierbar; sie besitzt ein totales oder vollständiges Diffe-
rential im Sinne von 0. Stolz33 34). Hiernach ist es für die Jordan-
sche Beweisführung ausreichend, aber auch wesentlich, daß die
Funktionen X(u, u) und Y(u,v) ein vollständiges Differential be-
sitzen. Dies trifft insbesondere zu, wenn die Ableitungen Xu, Xv,
Yu, Yv stetig sind; daher kann man die Formeln (41) und (66)
nach dem JoRDANschen Leitgedanken beweisen, wenn man die
Stetigkeit der Ableitungen erster Ordnung voraussetzt.31)

Herr Rademacher zeigt nun31), daß auch dann, wenn ledig-
lich vorausgesetzt wird, daß die partiellen Ableitungen Xu, Xv,
Yu, Yv in 21 beschränkt sind, die Funktionen X(u, v) und Y(u, zz)
fast überall in 21 ein vollständiges Differential besitzen, d. h. daß
die Teilmenge 2I0 von 21, in der dies nicht zutrifft, das Lebes-
GUEsche Maß Null hat. Damit gewinnt er Anschluß an den Ge-
dankengang des JoRDANschen Beweises und kommt zum Ziel,
weil bei der Bildung des Lebesgue sehen Integrales Teilmengen
des Integrationsbereiches, die das Lebesguesehe Maß Null haben,
unberücksichtigt bleiben können.
Man könnte versuchen, den entsprechenden Weg im Rahmen
der RiEMANNschen Integraltheorie zu gehen. Dazu müßte man
zeigen können, daß die Menge 2l0 auch den JoRDANschen Inhalt
Null hat. Wir wollen durch ein Beispiel belegen, daß dies nicht
der Fall zu sein braucht, selbst wenn die etwas engeren Voraus-
setzungen von Satz 6 gelten.
Bei der Funktion


u v für zz2 + zz2>0,
' ]/zZ2+ ZZ2
0 für zz = u = 0
(u, v) = 3 für zz2+zz2>0,
Kzz2+zz2

öf (0,0) = 0, ör(°)(O,O) = O,

(77)

^(0)(zz, zz)|^l, \g^\u, zz)|^l, |^0)(zz, zz)i^l für zz2+zz2^4,

A(0) (0,0, zz, zz) =

V u2-\-u2

ll D
lY-^u2'

33) Vgl. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß
ihrer Anwendungen, a. i. 2!) a. 0., S. 1123f; besonders auch die historischen
Bemerkungen.
34) In der zweiten der in 30) genannten Arbeiten. Davon, daß Herr