Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: RiEMANN’sches Integral
folgt aus der soeben angestellten Betrachtung, daß einer Durch-
laufung von im positiven (negativen) Sinn eine Durchwande-
rung von im positiven (negativen) Sinn entspricht. Da die
Abbildungsfunktionen (87) in 21-)-$ stetig sind, kann man aber
die Kurve $* durch Kurven d* beliebig gut approximieren und
dann (ähnlich wie beim Beweis des Hilfssatzes 1) schließen, daß
einer Durchlaufung von $ im positiven (negativen) Sinn eine
Durchlaufung von $* im positiven (negativen) Sinn entspricht.
Beachtet man noch, daß nach Satz 4
ß
I u (Z) A (f) dt = + J (21),
a
wobei das Pluszeichen (Minuszeichen) steht, wenn der Punkt
(zz(f), ^(Ö) die Kurve $ im positiven (negativen) Sinn durchläuft,
während t von a bis ß wächst, so folgt aus (90), daß
ß
(91) J(23) = + I (0) v' (0 dt^KJ(21),
a
wobei das Pluszeichen (Minuszeichen) gilt, wenn der Punkt
(zz (it), u (Z)) die Kurve $ im positiven (negativen) Sinn durch-
wandert, während t von a bis ß wächst.
Da wir schon wissen, daß J (58) existiert, können wir zur
Berechnung von J (23) aber auch die Formel (41) aus Satz 6
heranziehen, der nach den Vorbemerkungen in Nr. 1 anwendbar
ist. Es ergibt sich
(92) J (58) = I fu (zz, ü) -f- K j da = fu (u, u) da — KJ (21).
21 21
Aus (91) und (92) folgt aber unmittelbar die Formel (85). Damit
ist Satz 8 bewiesen.
3. Hat die Kurve $ eine endliche Länge L und benutzt man
speziell die von einem festen Punkt der Kurve aus gemessene
Bogenlänge s als Parameter, so ist
v' (s) — + cos (n (s) > “) > u' (s) = i cos (n (s) > v) >
wo n (s) den Vektor der inneren Normalen von $ im Kurvenpunkt
zz = zz (s), u = u (s), 0 <1 s < Ä
bezeichnet und das obere (untere) Vorzeichen gilt, wenn der
Punkt (zz(s), zz(s)) die Kurve $ im positiven (negativen) Sinn
durchwandert, während s von 0 bis L wächst. Die Formeln (85)