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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0067
67
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
und (86) gehen über in die bekannten Formeln des Gauss sehen
Integralsatzes für die Ebene
L
I fa (u, v) da = — I f(u (s), u (s)) cos (n (s), u) ds,
(93) 21
/ fL, (u, u) da = — I f (ti (s), u (s)) cos (n (s), u) ds.
21 0
4. Der hier dargestellte Beweis des Satzes 8 und der Gauss-
schen Integralformeln (93) bietet den Vorteil, daß die Umwand-
lung des Flächenintegrales in ein Doppelintegral (iteriertes Inte-
gral) und damit die Einführung der hierzu erforderlichen zusätz-
lichen Voraussetzungen38) vermieden wird39). Die Ausdehnung
der Ergebnisse auf allgemeinere Gebiete, als wir hier betrach-
teten, gehört nicht zum Plan dieser Arbeit40).
§ 11. Ergänzungen.
1. In § 7, 1 machten wir die Bemerkung, daß die Existenz
von F (^) aus den übrigen Voraussetzungen des Satzes 3 nicht
folgt. Daß es in der Tat von einer JoRDANkurve begrenzte, ein-
fach zusammenhängende Gebiete 93 gibt, bei denen J (93) aber
nicht F ($) existiert, zeigt das Beispiel, das wir jetzt konstruieren
wollen.
Wir markieren auf dem Halbkreis
(94) x = R cos cp, y = R sin cp, 0 (p <. n ,
zunächst die Punkte Pn, die zu den Winkeln
38) In den meisten Lehrbüchern wird die Stetigkeit der partiellen Ab-
leitung, die integriert werden soll, vorausgesetzt.
30) Eine andere ohne solche zusätzlichen Voraussetzungen im Rahmen
der RiEMANN’schen Integraltheorie auskommende Beweismethode findet
man in folgenden Arbeiten von A. Pringsheim : Zur Theorie des Doppel-
integrals. Sitzungsberichte der math.-physikal. Classe der kgl. bayerischen
Akademie der Wissenschaften 28, 1898, S. 59—74. — Zur Theorie des
Doppelintegrals, des GREEN’schen und CAUCHY’schen Integralsatzes. Eben-
da, 29, 1899, S. 39—62; bes. § 3 und § 4. — Vgl. auch H. Rothe, a. in 9)
a. 0., S. 638ff.
40) Literaturangaben in der Encyklopädie der mathematischen Wissen-
schaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, Bd. 2, 3. Teil, 1. Hälfte, S. 210.
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
und (86) gehen über in die bekannten Formeln des Gauss sehen
Integralsatzes für die Ebene
L
I fa (u, v) da = — I f(u (s), u (s)) cos (n (s), u) ds,
(93) 21
/ fL, (u, u) da = — I f (ti (s), u (s)) cos (n (s), u) ds.
21 0
4. Der hier dargestellte Beweis des Satzes 8 und der Gauss-
schen Integralformeln (93) bietet den Vorteil, daß die Umwand-
lung des Flächenintegrales in ein Doppelintegral (iteriertes Inte-
gral) und damit die Einführung der hierzu erforderlichen zusätz-
lichen Voraussetzungen38) vermieden wird39). Die Ausdehnung
der Ergebnisse auf allgemeinere Gebiete, als wir hier betrach-
teten, gehört nicht zum Plan dieser Arbeit40).
§ 11. Ergänzungen.
1. In § 7, 1 machten wir die Bemerkung, daß die Existenz
von F (^) aus den übrigen Voraussetzungen des Satzes 3 nicht
folgt. Daß es in der Tat von einer JoRDANkurve begrenzte, ein-
fach zusammenhängende Gebiete 93 gibt, bei denen J (93) aber
nicht F ($) existiert, zeigt das Beispiel, das wir jetzt konstruieren
wollen.
Wir markieren auf dem Halbkreis
(94) x = R cos cp, y = R sin cp, 0 (p <. n ,
zunächst die Punkte Pn, die zu den Winkeln
38) In den meisten Lehrbüchern wird die Stetigkeit der partiellen Ab-
leitung, die integriert werden soll, vorausgesetzt.
30) Eine andere ohne solche zusätzlichen Voraussetzungen im Rahmen
der RiEMANN’schen Integraltheorie auskommende Beweismethode findet
man in folgenden Arbeiten von A. Pringsheim : Zur Theorie des Doppel-
integrals. Sitzungsberichte der math.-physikal. Classe der kgl. bayerischen
Akademie der Wissenschaften 28, 1898, S. 59—74. — Zur Theorie des
Doppelintegrals, des GREEN’schen und CAUCHY’schen Integralsatzes. Eben-
da, 29, 1899, S. 39—62; bes. § 3 und § 4. — Vgl. auch H. Rothe, a. in 9)
a. 0., S. 638ff.
40) Literaturangaben in der Encyklopädie der mathematischen Wissen-
schaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, Bd. 2, 3. Teil, 1. Hälfte, S. 210.