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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0069
69
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
En der Strecke HnPn+x, der so nahe bei Hn liegt, daß die Strecke
DnEn die Spirale $n überhaupt nicht trifft und mit der Spirale
nur den Punkt Dn gemeinsam hat.
Die Kurve, die sich aus der Strecke PnHn, der Spirale Sn,
der Spirale 6«, der Strecke DnEn und der Strecke EnPn+x zu-
sammensetzt, ist ein Jordan bogen, den wir mit 3« bezeichnen.
Die JORDANbögen 3« und 3n+i haben nur den Punkt P„+i ge-
meinsam; zwei Bögen 3« und 3™> bei denen n— m\^2,
haben keinen Punkt gemeinsam. Mit der Strecke P*PQ hat nur
30 einen Punkt gemeinsam, nämlich den Punkt Po. Also ist auch
die Kurve
P* Po “F So + ■ ■ ■ + 3«
ein JORDANbögen. Und da für hinreichend großes n0 alle Punkte
von 3n0> 3«o+i> • • • in einem beliebig kleinen Kreis um P* liegen,
ist
& = P*P0Jr 3o + Si +.
eine geschlossene JORDANkurve. Das von ihr begrenzte beschränkte
Gebiet heiße 93.
Jeder der Bögen 3« ist rektifizierbar. Ist £ J> 0 vorgeschrieben,
so können wir zunächst um P* einen Kreis mit dem Radius
l'A schlagen. Der Teil von Ä, der mit dem Innern und dem
Rand dieses Kreises keine Punkte gemeinsam hat, besitzt eine
endliche Länge, kann also mit einer aus achsenparallelen Quadra-
ten aufgebauten Punktmenge überdeckt werden, deren Jordan-
scher Inhalt kleiner als ist. Daher verläuft $ ganz in einem Be-
reich, dessen Jordanscher Inhalt kleiner als e ist. Da £ beliebig
nahe bei Null gewählt werden kann, existiert J(93).
Wir können uns die Kurve Ä in der Form
x = x(t), y — y(t), a^EtE^b
dargestellt denken, wobei x(f) und y(t) im Intervall (a, b) stetige
Funktionen des Parameters t sind. Denken wir es uns dabei so
eingerichtet, daß dem Wert t = a der Punkt P* entspricht und
daß dann für wachsende Werte von t zunächst die Strecke P*P0
durchlaufen wird, so können wir weiterhin annehmen, daß die
Funktionen x(f) und y(t) in jedem Teilintervall a^t^b', wo
b'<Zb, abteilungsweise stetige Ableitungen erster, ja jeder Ord-
nung haben, Die tatsächliche Bestimmung der Funktionen x(f)
und y(t) ist für die weiteren Überlegungen nicht erforderlich.
zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
En der Strecke HnPn+x, der so nahe bei Hn liegt, daß die Strecke
DnEn die Spirale $n überhaupt nicht trifft und mit der Spirale
nur den Punkt Dn gemeinsam hat.
Die Kurve, die sich aus der Strecke PnHn, der Spirale Sn,
der Spirale 6«, der Strecke DnEn und der Strecke EnPn+x zu-
sammensetzt, ist ein Jordan bogen, den wir mit 3« bezeichnen.
Die JORDANbögen 3« und 3n+i haben nur den Punkt P„+i ge-
meinsam; zwei Bögen 3« und 3™> bei denen n— m\^2,
haben keinen Punkt gemeinsam. Mit der Strecke P*PQ hat nur
30 einen Punkt gemeinsam, nämlich den Punkt Po. Also ist auch
die Kurve
P* Po “F So + ■ ■ ■ + 3«
ein JORDANbögen. Und da für hinreichend großes n0 alle Punkte
von 3n0> 3«o+i> • • • in einem beliebig kleinen Kreis um P* liegen,
ist
& = P*P0Jr 3o + Si +.
eine geschlossene JORDANkurve. Das von ihr begrenzte beschränkte
Gebiet heiße 93.
Jeder der Bögen 3« ist rektifizierbar. Ist £ J> 0 vorgeschrieben,
so können wir zunächst um P* einen Kreis mit dem Radius
l'A schlagen. Der Teil von Ä, der mit dem Innern und dem
Rand dieses Kreises keine Punkte gemeinsam hat, besitzt eine
endliche Länge, kann also mit einer aus achsenparallelen Quadra-
ten aufgebauten Punktmenge überdeckt werden, deren Jordan-
scher Inhalt kleiner als ist. Daher verläuft $ ganz in einem Be-
reich, dessen Jordanscher Inhalt kleiner als e ist. Da £ beliebig
nahe bei Null gewählt werden kann, existiert J(93).
Wir können uns die Kurve Ä in der Form
x = x(t), y — y(t), a^EtE^b
dargestellt denken, wobei x(f) und y(t) im Intervall (a, b) stetige
Funktionen des Parameters t sind. Denken wir es uns dabei so
eingerichtet, daß dem Wert t = a der Punkt P* entspricht und
daß dann für wachsende Werte von t zunächst die Strecke P*P0
durchlaufen wird, so können wir weiterhin annehmen, daß die
Funktionen x(f) und y(t) in jedem Teilintervall a^t^b', wo
b'<Zb, abteilungsweise stetige Ableitungen erster, ja jeder Ord-
nung haben, Die tatsächliche Bestimmung der Funktionen x(f)
und y(t) ist für die weiteren Überlegungen nicht erforderlich.